實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣知乎(實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有哪些定理)

又名：TOPE和健美操?zèng)Q賽將于明天舉行，但我在這里寫(xiě)下.

u1s1，有時(shí)候?qū)懣偨Y(jié)或者看書(shū)的時(shí)候都會(huì)感到不安……就記錄一下今天看到的比較有用的結(jié)論吧。8)今天老師講的很多地方都很模糊。TT理解起來(lái)很累。

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)

引理1:對(duì)稱(chēng)變換以及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)

pf:

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='assume#xA0;A#x03B1;=#x03BB;#x03B1;(1)role='presentation'的共軛表示為假設(shè)A=,(1)的共軛\阿爾法是\overline{\alpha}\

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x03B1;#x00AF;#x2032;'role='presentation'′\overline\alpha的含義：對(duì)向量的每一維取共軛數(shù)，然后將列向量轉(zhuǎn)換為行向量

然后乘以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B1;#x00AF;'(1)中的角色='演示'\overline{\alpha}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;#x00AF;#x2032;(A#x03B1;)=#'角色='演示'′(A)=′′A=(A′)=(Aˉ)\overline{\alpha}(A\alpha)=\overline{\alpha}A\alpha=(A\overline{\alpha})\alpha=(\overline{A\alpha})\alpha

注意：為什么最后一個(gè)等號(hào)成立？這是因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

命題：在復(fù)數(shù)領(lǐng)域，a的虛部為0當(dāng)且僅當(dāng)a=a的共軛。因此，由于A的各個(gè)位置的元素都是實(shí)數(shù)，所以取共軛后，仍然等于原來(lái)的A。這樣就有：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03BB;#x03B1;#xA0;for#x03BB;#xA0;is#xA0;a#xA0;數(shù)字，#xA0;所以#xA0;我們#xA0;可以#xA0;改變#xA0;它的#xA0;序列#xA0;然后，#xA0;我們#xA0;得到#xA0;(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;(#x03BB;#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#x03BB;#x00AF;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;而#xA0;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=x1#x00AF;x1+x2#x00AF;x2+.+xn#x00AF;xn#xA0;'role='presentation'(A′)=′′′,對(duì)于是一個(gè)數(shù)字，所以我們可以改變它的順序，那么，wegot(A′)=′′(′)′=′′′,′′′=而=x1x1+x2x2+.+xnxn(\overline{A\alpha})\alpha={\overline\alpha}\lambda\alpha,\\\因?yàn)閈lambda\是\一個(gè)\數(shù)字，\所以\我們\可以\改變\其\序列\(zhòng)\\那么，\我們\得到\(\overline{A\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\(\overline{\lambda\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha,\\\overline{\lambda}\overline{\alpha}\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\while\\overline{\alpha}\alpha=\overline{x_1}{x_1}+\overline{x_2}{x_2}+.+\overline{x_n}x_n\\\

由于之前提到的一個(gè)結(jié)論：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='根據(jù)#xA0;to:#xA0;aa#x00AF;#x2208;R,#x2200;a#x2208;C'角色='演示'根據(jù)：aR,aC\\根據(jù)\to:\a\overline{a}\inR,\foralla\inC\\

又因?yàn)檫@里是一個(gè)特征向量：0，\\\我們\可以\得出\that:\overline{\lambda}-\lambda=0.\\\\所以，\lambda\in\R'rame'tabindex='0'樣式='字體大小：100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='and#xA0;#x03B1;#x2260;0(因?yàn)?xA0;#x03B1;#xA0;是#xA0;a#xA0;特征向量)#xA0;因此，#xA0;來(lái)自#xA0;(#x03BB;#x00AF;#xA0;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x00AF;#x03B1;)=0,和#xA0;#x03B1;#x00AF;#x03B1;gt;0,#xA0;我們#xA0;可以#xA0;結(jié)論#xA0;that:#x03BB;#x00AF;#x2212;#x03BB;=0.#xA0;#xA0;所以，#x03BB;#x2208;#xA0;R'角色='表示'且0（因?yàn)槭翘卣飨蛄浚?，因此，?′)(′)=0，且′0，我們可以得出：′′=0。所以，Rand\\alpha\ne0(因?yàn)閈\alpha\是\a\特征向量)\\\因此，\from\(\overline{\lambda}\-\lambda)(\overline{\alpha}\alpha)=0,\\且\\overline{\alpha}\alpha0,\\\我們\可以\得出結(jié)論\:\overline{\lambda}-\lambda=0。\\\\所以，\lambda\in\R

小結(jié)：

列向量轉(zhuǎn)置的目的

(1)轉(zhuǎn)位、改變運(yùn)算順序方便。行向量*列向量=數(shù)字。數(shù)字作為一個(gè)整體可以任意調(diào)換。同時(shí)數(shù)字整體在運(yùn)算時(shí)還可以改變乘法的順序==

(2)對(duì)于特殊的向量轉(zhuǎn)置和乘法，可以確定相應(yīng)元素的符號(hào)。==

例如：根據(jù)已知定理，復(fù)數(shù)范圍內(nèi)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;#x2217;#x03B1;#x00AF;=||#x03B1;||2'角色='演示'*=||||2\alpha*\overline{\}=||\||^2。即：將復(fù)數(shù)與其自身的共軛相乘，得到其自身模的平方（a^2+b^2）。

從這一點(diǎn)我們可以得到一個(gè)推論：n維向量rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B7;#xFF0C;'role='presentation',eta,\eta,ifknownrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;#x2260;0,'role='presentation'0,\eta\ne0,則：0.'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;gt;0。'角色='演示'\eta\overline{\eta}0.\eta\overline{\eta}0.并且，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;=0'角色='演示'=0\eta\overline{\eta}=0當(dāng)且僅當(dāng)rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;=0'角色='演示'=0\eta=0

引理2:對(duì)稱(chēng)變換及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣屬于不同特征值的特征向量，相互正交

請(qǐng)注意，對(duì)稱(chēng)變換和實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣之間的聯(lián)系是通過(guò)正交基建立的：一組正交基下的對(duì)稱(chēng)變換矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。因此，我們只需證明實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換的不同特征值的特征向量彼此正交即可。

pf:(求兩邊的內(nèi)積)(\alpha,\beta)=0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='假設(shè)#xA0;#x03BC;#x2260;#xA0;#x03BB;#xA0;#x03B1;=#x03BC;#x03B1;#xA0;#xA0;#x03B2;=#x03BB;#x03B2;#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03BC;#x03B1;#x03B2;)=#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;對(duì)于#xA0;#xA0;是#xA0;對(duì)稱(chēng)#xA0;變換#xA0;然后#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03BB;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;所以，#xA0;#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;for#xA0;#x03BC;#x2260;#x03BB;#xA0;so#xA0;(#x03BC;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x03B2;)=0=gt;(#x03B1;#x03B2;)=0'role='presentation'假設(shè)==(,)=(,)=(.)進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換則(,)=(,)=(,)=(,)so,(,)=(,)forso()(,)=0=(,)=0假設(shè)\\mu\ne\\lambda\\\\alpha=\mu\alpha\\\\\beta=\lambda\beta\\\(\alpha,\beta)=(\mu\alpha,\beta)=\mu(\alpha.\beta)\\\為\\是\對(duì)稱(chēng)\變換\\\則\(\alpha,\beta)=(\alpha,\beta)=(\alpha,\lambda\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\\so,\\mu(\alpha,\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\largefor\\mu\ne\lambda\\\so\(\mu-\lambda)(\alpha,\beta)=0=(\alpha,\beta)=0

引理3:若V的子空間rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1是-子空間，則rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1的正交補(bǔ)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1#x22A5;"role="presentation"V1V_1^{\bot}也是-子空間

引理4:n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

當(dāng)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有n個(gè)不同的特征值時(shí)，顯然有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。然而，當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣有s個(gè)特征值時(shí)，s個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。**

連接：矩陣進(jìn)行對(duì)角化的充要條件：

(1)特征多項(xiàng)式的所有根都屬于這個(gè)數(shù)域P

(2)對(duì)于特征多項(xiàng)式中的每個(gè)特征值，幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。自然地，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必須是可對(duì)角化的，這相當(dāng)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值必須是實(shí)數(shù)，并且對(duì)于每個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_iall有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_i對(duì)應(yīng)特征子空間rame的維度'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)'role='presentation'dim(Vi)dim(V_{\lambda_i})等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'特征多項(xiàng)式中的data-mathml='(#x03BB;#x2212;#x03BB;i)ti'role='presentation'(i)ti(\lambda-\lambda_i)^{t_i}次。事實(shí)上，代數(shù)重?cái)?shù)等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)=dim(N#xA0;(A#x2212;#x03BB;iI)#xA0;)'角色='演示'dim(Vi)=dim(N(AiI))dim(V_{\lambda_i})=dim(N\(A-\lambda_iI)\)即線性方程組基本解系所包含的向量個(gè)數(shù)。

注意：引理4并不意味著實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣的相同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。顯然情況不一定如此。從“n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必須有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量”不能推導(dǎo)出“具有相同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的”。引理4只能解釋?zhuān)簩?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣中是否存在重復(fù)的特征值。那么，這些特征值重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)必須等于其對(duì)應(yīng)的特征子空間的維數(shù)。換句話(huà)說(shuō)，在這些特征值對(duì)應(yīng)的特征子空間中，基是由與重復(fù)次數(shù)對(duì)應(yīng)的向量組成的。

PF：我還沒(méi)有看到任何更容易理解的東西。但可以從其對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣來(lái)理解。因?yàn)閷?duì)于對(duì)角矩陣A，方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(#x03BB;iE#x2212;A)X=0'角色='演示'(iEA)X=0(\lamb

da_iE-A)X=0的基礎(chǔ)解系的向量個(gè)數(shù)是顯然的。從方程組的角度來(lái)看幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)往往比較直觀。因?yàn)?，?duì)于對(duì)角矩陣或者Jordan標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)說(shuō)，幾何重?cái)?shù)就是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0的解空間的維數(shù)；代數(shù)重?cái)?shù)就是在對(duì)角線中rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i出現(xiàn)的次數(shù)。這也就解釋了，對(duì)于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="JA"role="presentation">JAJ_A來(lái)說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有Jordan塊都是1階時(shí)，A矩陣可對(duì)角化。當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)Jordan塊的階數(shù)大于等于2時(shí)，A矩陣不可對(duì)角化。請(qǐng)見(jiàn)下例：

（1）假設(shè)對(duì)角矩陣A為：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[]"role="presentation">[]\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}

即：A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由三個(gè)Jordan塊組成，且均為1階。這就意味著：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形就是一個(gè)對(duì)角陣。對(duì)于特征值2，它的特征向量是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(a,0,b)T"role="presentation">(a,0,b)T(a,0,b)^T，a、b可以是任意取值(可以相等，可以不相等，但不能同時(shí)為0)，所以特征值2的特征空間為2維

（2）只要出現(xiàn)了階數(shù)大于1的Jordan塊：由一個(gè)2階Jordan塊和一個(gè)1階Jordan塊組成。在代入相應(yīng)的特征值的時(shí)候，就能看到，方程rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="A?2?I"role="presentation">A?2?IA-2*I=0對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)，一定會(huì)小于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形里特征值出現(xiàn)的次數(shù)。

聯(lián)：由此想到，可對(duì)角化和不可對(duì)角化的矩陣，都能化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。其中，Jordan塊的總數(shù)量rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(m1+m2+...+ms=m)"role="presentation">(m1+m2+...+ms=m)(m_1+m_2+...+m_s=m)，就是所有特征子空間的維數(shù)之和。一般來(lái)說(shuō)，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m≤n"role="presentation">m≤nm\len。但是，對(duì)于s個(gè)特征值中任意一個(gè)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i來(lái)說(shuō)，每一個(gè)的幾何重?cái)?shù)都等于其對(duì)應(yīng)的Jordan塊數(shù)目之和。這也和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m1+m2+...ms=m"role="presentation">m1+m2+...ms=mm_1+m_2+...m_s=m表示Jordan塊的總數(shù)量，也表示所有特征子空間的維數(shù)之和，是符合的。

對(duì)于整個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形而言，有這樣的結(jié)論：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的幾何重?cái)?shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="mi"role="presentation">mim_i，等于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="det(JA?λI)=(λ?λ1)t1...(λ?λi)ti...(λ?λs)ts"role="presentation">det(JA?λI)=(λ?λ1)t1...(λ?λi)ti...(λ?λs)tsdet(J_A-\lambdaI)=(\lambda-\lambda_1)^{t_1}...(\lambda-\lambda_i)^{t_i}...(\lambda-\lambda_s)^{t_s}中的rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ti"role="presentation">tit_i。即，jordan標(biāo)準(zhǔn)形里，特征值的幾何重?cái)?shù)等于在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="det(JA?λi)"role="presentation">det(JA?λi)det(J_A-\lambdai)中相應(yīng)因式的次數(shù)。只要特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i%有一個(gè)Jordan塊階數(shù)>1，那么，它的代數(shù)重?cái)?shù)>幾何重?cái)?shù)。如果特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的全部rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="mi"role="presentation">mim_i個(gè)jordan塊全是階數(shù)=1的，那么特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的代數(shù)重?cái)?shù)=幾何重?cái)?shù)。

定理:實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以正交相似對(duì)角化

即：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以對(duì)角化，且此過(guò)程中，可以利用正交矩陣作為那個(gè)可逆矩陣P來(lái)對(duì)角化。（當(dāng)然，也可以用一般的矩陣）

基于這一重要定理的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似化方法

正是由于引理2的成立，即實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，我們才能夠通過(guò)施密特正交化構(gòu)造出正交矩陣，使得實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣。

因此我們得到實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣最重要的性質(zhì)，即此處定理：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以相似對(duì)角化，并且相似的對(duì)角矩陣為該實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣線性無(wú)關(guān)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值按順序排列在對(duì)角矩陣的對(duì)角線上，并且還可以通過(guò)施密特正交化構(gòu)造正交矩陣進(jìn)行正交相似對(duì)角化。

注：實(shí)對(duì)稱(chēng)可以用正交矩陣進(jìn)行正交相似對(duì)角化，當(dāng)然也可以用普通的矩陣進(jìn)行相似對(duì)角化，具體問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具體分析。

證明過(guò)程和方法：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣

求出實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="|λE?A|"role="presentation">|λE?A||\lambdaE-A|，從而求出其全部的特征值：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ1,λ2,...λs"role="presentation">λ1,λ2,...λs\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_s依次代入全部的特征值，求出每一個(gè)特征值下的特征向量，每個(gè)特征值下的特征向量是線性方程組的解：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0求出該方程組的基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系就是屬于特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的特征向量的坐標(biāo)。再根據(jù)事先指定的原來(lái)的一組基和這些坐標(biāo)，可以確定，這個(gè)特征子空間的一組基。

對(duì)于同一個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量：對(duì)這組線性無(wú)關(guān)的特征向量采用施密特正交化的方法，化成標(biāo)準(zhǔn)正交基（該特征值所對(duì)應(yīng)的特征子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基）

引理2作為依據(jù)，將不同特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量都正交化以后，它們所構(gòu)成的全部的n個(gè)正交化、長(zhǎng)度為1的向量，彼此仍然正交。這是因?yàn)椋簩?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣在不同特征值下的特征向量，是相互正交的。

從而，我們將原來(lái)的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，化成了一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。也就是說(shuō)，我們把原來(lái)的一組由線性無(wú)關(guān)的特征向量組成的矩陣，化成了一組由標(biāo)準(zhǔn)正交基組成的矩陣。注意到，n階方陣為正交矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)：其行向量組（或列向量組）是正交組。因此，此時(shí)由標(biāo)準(zhǔn)正交基組成的矩陣就是一個(gè)正交矩陣。從而，我們得到了實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化表示。注意到：雖然把原來(lái)的向量變成了現(xiàn)在的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，但是這個(gè)對(duì)角矩陣（對(duì)角線上是全部特征值）是不變的。

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化，是二次型可以化為標(biāo)準(zhǔn)型的理論基礎(chǔ)。

正交替換一定是非退化線性替換。正交替換所得到的標(biāo)準(zhǔn)形中，各平方項(xiàng)的系數(shù)，就是原矩陣A的全部特征值。（全部值：也包括次數(shù)）