三角形的各個(gè)心以及特點(diǎn)(向量表示三角形的各個(gè)心)

#education聽我說#一：'三角形的重心'

即使我們不知道重心的數(shù)學(xué)術(shù)語，也沒有關(guān)系。我們這樣想：如果我把手指放在三角板上的某個(gè)點(diǎn)上，正好平衡了三角板，那么這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心。

上面這段話應(yīng)該很容易理解，那么我們?nèi)绾握业竭@一點(diǎn)呢？此時(shí)，我們先把三角形放在一邊。如果我有一根質(zhì)地均勻的木棍，我如何找到木棍的重心？大家都知道，如果我把手指放在棍子的中點(diǎn)，它就會(huì)保持平衡。因此，線段的重心就是線段的中心。

圖片

讓我們回到這個(gè)三角形。如果我們把這個(gè)三角形分成很多細(xì)棍（線段），如下圖所示：

圖片

那么每條線段的重心都在線段的中點(diǎn)上，所以這個(gè)三角形的重心一定在所有中點(diǎn)的連線上。也就是說，這個(gè)三角形的重心在線段AF上，

圖片

同理，我們知道這個(gè)三角形的重心也在另外兩條中線上，所以三角形的重心就是這三條中線的交點(diǎn)。

2：“三角形的外心”

現(xiàn)在我們來研究三角形的外心。顧名思義，三角形的外心是指三角形外接圓的中心。那么，我們?nèi)绾握业饺切蔚耐庑哪?？?qǐng)看下面的圖片：

圖片

三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在圓O上，所以O(shè)點(diǎn)是三角形ABC的外心。由于AB、BC、AC都是圓O的弦，所以O(shè)點(diǎn)一定在AB的垂直平分線上。（定理：圓上任意弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心）。同理，O點(diǎn)也在BC的垂直平分線上……

因此，三角形的外心就是三角形垂直平分線的交點(diǎn)。

三：“三角之心”

顧名思義，三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)切圓的中心。那么如何找到內(nèi)心呢？我們先看一下下面這張圖：

圖片

三角形ABC的內(nèi)圓心為O點(diǎn)，三邊的切點(diǎn)為E、F、G。顯然，E、F、G三點(diǎn)都在圓O上。我們連接EO、FO、GO，然后連接AO、BO、CO，如下圖：

圖片

由于E、F、G都在圓O上，所以O(shè)E=OF=OG

又因?yàn)镋、F、G都是切點(diǎn)，所以O(shè)E垂直于AB，OG垂直于AC，OF垂直于BC。根據(jù)RT三角形全等定理，我們很容易得到三組全等三角形：

圖片

因此，角度關(guān)系如下：

圖片

因此，三角形的心就是三個(gè)角平分線的交點(diǎn)。

四：“三角形的垂直中心”

所謂垂直中心就是三個(gè)高度的交點(diǎn)。

綜上所述：

三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)。

三角形的外心是三個(gè)垂直平分線的交點(diǎn)。

三角形的中心是三個(gè)角平分線的交點(diǎn)。

三角形的垂直中心是其三個(gè)高度的交點(diǎn)。

一般高中涉及到的心就只有這四種。接下來是大事。在高考中，重心的運(yùn)用是很常見的。

三角形重心的性質(zhì)：

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2、重心與三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三個(gè)三角形的面積相等。即重心到三邊的距離與三邊的長(zhǎng)度成反比。

3、重心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心坐標(biāo)為頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均值，即重心坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3)。

5、從重心開始到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)向量之和等于零向量。

最常用的是1、4、5，希望大家牢記重心的這三個(gè)屬性。