高中數(shù)學(xué)函數(shù)及其表示(高中數(shù)學(xué)函數(shù)的表示法)

高考數(shù)學(xué)的函數(shù)與表示

1.找出兩個常見錯誤

（1）“函數(shù)”和“映射”的概念很容易混淆：函數(shù)是一種特殊的映射，映射不一定是函數(shù)。它是從A到B的映射。如果A和B不是數(shù)集，那么這個映射不是函數(shù)。

(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)。分段函數(shù)的域是每個段的域的并集，范圍是每個段的值域的并集。

2.求函數(shù)解析表達(dá)式的四種常用方法

(1)匹配方法：給定已知條件f(g(x))=F(x)，F(xiàn)(x)可以重寫為關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后用x代替g(x)，則我們得到f(x)的表達(dá)式；

（2）待定系數(shù)法：如果函數(shù)類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）已知，則可以采用待定系數(shù)法；

(3)元素置換法：如果復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式已知，則可以采用元素置換法。這時要注意新元素的取值范圍；

(4)方程組法：如果已知f(x)和f或f(-x)的表達(dá)式，則可以根據(jù)已知條件構(gòu)造另一個方程組，形成方程組，并求解求f(x)的方程

函數(shù)的基本概念【學(xué)生用書P17】

【以身作則】

下面給出的同組函數(shù)中，它們代表的是同一個函數(shù)嗎？為什么？

(1)f1:y=;f2：y=1。

(2)f1：y

f2:

X

x1

1x2

x2

y

1

2

3

(3)f1：y=2x；f2：如圖所示。

【解決辦法】（1）功能不同。f1(x)的定義域?yàn)閧xR|x0}，f2(x)的定義域?yàn)镽。

(2)對于同一個函數(shù)，x和y的對應(yīng)關(guān)系完全相同，定義域也相同。它們是同一功能的不同表達(dá)。

(3)功能相同。原因與(2)相同。

如何判斷函數(shù)是否是同一個函數(shù)

(1)兩個函數(shù)是否是等函數(shù)取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同。只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，它們才是相等的函數(shù)。

(2)函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可以用其他字母表示，如：f(x)=2x-1、g(t)=2t-1、h(m)=2m-1。功能相同。

作出如下判斷：

f(x)=和g(x)=代表同一個函數(shù)；

函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=1最多有1個交點(diǎn)；

f(x)=x2-2x+1和g(t)=t2-2t+1是同一個函數(shù)；

若f(x)=|x-1|-|x|，則f=0。

正確的數(shù)字是_________。

【分析】對于，由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閧x|xR且x0}，而函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)镽，因此它們不是同一個函數(shù)；對于。如果x=1不是y=f(x)域中的值，則直線x=1和y=f(x)的圖像沒有交點(diǎn)。如果x=1是y=f(x)值域中的值，從函數(shù)的定義可以看出，直線x=1和y=f(x)的圖像只有一個交點(diǎn)點(diǎn)，即y=f(x)的圖像與直線x=1最多有一個交點(diǎn)；對于，f(x)和g(t)的定義域、取值范圍和對應(yīng)關(guān)系相同，因此f(x)和g(t)代表同一個函數(shù)；對于，由于f=-=0，

所以f=f(0)=1。

綜上可知，正確的判斷是。

【答案】

求函數(shù)的定義域【學(xué)生用書P17】

【以身作則】

(1)函數(shù)f(x)=的定義域是_________。

(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)開_______。

【分析】（1）要使函數(shù)f(x)有意義，必須是

求解x-。

所以函數(shù)f(x)的定義域是。

(2)由此可知0x1，即定義域?yàn)閇0,1)。

【答案】(1)(2)[0,1)

【穿越練習(xí)】

1.（2017·淄博模擬）函數(shù)f(x)lg(3x1)的定義域?yàn)?)

A.B.

光盤。

B【分析】一個函數(shù)要有意義，必須滿足

解為-x1。

2.函數(shù)f(x)=(a0且a1)的定義域是________。

【分析】由0x2，求函數(shù)的定義域?yàn)?0,2]。

[答案](0,2]

求函數(shù)的解析公式【學(xué)生用書P18】

【以身作則】

(1)已知f=x2+，則f(x)的解析式為________。

(2)已知f=lgx，則f(x)的解析式為________。

(3)若f(x)為二次函數(shù)，且f(0)=3、f(x+2)-f(x)=4x+2，則f(x)的解析式為________。

(4)函數(shù)f(x)滿足方程2f(x)+f=2x，xR且x0，則f(x)=________。

【分析】（1）由于f=x2+=-2，

所以f(x)=x2-2,x2或x-2,

因此，f(x)的解析公式為f(x)=x2-2（x2或x-2）。

(2)令+1=t，由于x0，所以t1和x=，

所以f(t)=lg，即f(x)=lg(x1)。

(3)假設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0)，并且f(0)=c=3。

所以f(x)=ax2+bx+3，所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2。

所以

所以

因此，所求函數(shù)的解析公式為f(x)=x2-x+3。

(4)因?yàn)?f(x)+f=2x,

將x替換為x，可得2f+f(x)=。

將中的f消去，得3f(x)=4x-。

所以f(x)=x-(xR且x0)。

【答案】（1）f（x）x2-2（x2或x-2）（2）f（x）lg（x1）（3）f（x）x2-x3（4)x(x0)

如果本例中的條件(4)變?yōu)?f(x)+f(-x)=2x，則求f(x)。

【解】因?yàn)?f(x)+f(-x)=2x，

將x替換為-x，得到2f(-x)+f(x)=-2x，

將中的f(-x)消去，得3f(x)=6x，

所以f(x)=2x。

【穿越練習(xí)】

1、已知f(+1)=x+2，則f(x)的解析公式為f(x)=__________。

【分析】方法一：假設(shè)t=+1，

則x=(t-1)2(t1);

代入原公式可得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1。

因此，f(x)=x2-1(x1)。

方法2：因?yàn)閤+2=()2+2+1-1=(+1)2-1，

所以f(+1)=(+1)2-1(+11)，

即f(x)=x2-1(x1)。

【答案】x2-1(x1)

2、假設(shè)y=f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)=0有兩個相等的實(shí)根，且f(x)=2x+2，則f(x)的解析公式為f(x)=__________

【分析】設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，

則f(x)=2ax+b=2x+2，

所以a=1，b=2，f(x)=x2+2x+c。

并且因?yàn)榉匠蘤(x)=0有兩個相等的實(shí)根，

所以=4-4c=0，c=1，所以f(x)=x2+2x+1。

【答案】x22x1

分段函數(shù)（高頻測試點(diǎn)）【學(xué)生用書P18】

分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考熱門話題。它們大多以多項(xiàng)選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)。試題難度不是很大，大多是簡單題或中級題。

高考主要從以下四個命題角度考察分段函數(shù)：

(1)從分段函數(shù)的解析表達(dá)式中求出函數(shù)值（或最大值）；

(2)由分段函數(shù)的解析表達(dá)式和方程求出參數(shù)的取值(或范圍)；

(3)根據(jù)分段函數(shù)的解析表達(dá)式求解不等式；

(4)根據(jù)分段函數(shù)的解析表達(dá)式，確定函數(shù)的奇偶性。（本章第3章有說明）

【以身作則】

(1)(2015年高考陜西卷)假設(shè)f(x)=則f(f(-2))=()

A。-1B.C.D.

(2)(2017·高考卷C)假設(shè)函數(shù)f(x)=，則滿足f(x)+f1的x的取值范圍為________。

【分析】（1）因?yàn)?20，所以f(-2)=2-2=0，所以f=1-=1-=。

(2)當(dāng)x0時，f(x)=2x1始終為真。當(dāng)x-0，即x時，f=2x-1。當(dāng)x-0，即0x，f=x+時，不等式f(x)f1始終成立。當(dāng)x0時，f(x)+f=x+1+x+=2x+1，所以-x0。綜上，x的取值范圍為。

【答案】（1）C（2）