數(shù)學(xué)分析微分和導(dǎo)數(shù)視頻(微分導(dǎo)數(shù)區(qū)別)

在數(shù)學(xué)史上，微積分的創(chuàng)造是繼歐幾里得幾何之后最偉大的創(chuàng)造之一。17世紀(jì)微積分首先解決了四類科學(xué)問題：1給定加速度-時(shí)間函數(shù)，求物體的速度和移動(dòng)距離；22.求曲線的正切；3.求函數(shù)的最大值；4.求曲線弧長、曲線圍成的面積等。

今天，我們將學(xué)習(xí)微積分中的微分和導(dǎo)數(shù)。

第1節(jié)討論微分和導(dǎo)數(shù)的概念：

假設(shè)f(x)定義在鄰域U(x0)中。當(dāng)給定增量x且滿足x+x0U(x0)時(shí)，若存在與x無關(guān)的常數(shù)A，則可得到函數(shù)增量y=f(x+x0)-f(x0)，則可表示為y=A*x+o(x)，則稱f(x)在x0點(diǎn)可微，A*x為函數(shù)在x0處的微分，記為dy|x=x0=A*x。我們可以看到，微分是一個(gè)增量線性函數(shù)，微分dy與增量y和高階無窮小o(x)之間存在關(guān)系：y=dy+o(x)。請(qǐng)注意，這里的可微性是點(diǎn)狀態(tài)可微連續(xù)性定理：如果f(x)在x0處可微，則函數(shù)在x0處連續(xù)。假設(shè)f(x)定義在鄰域U(x0)中。如果極限lim[(f(x0+x)-f(x0))/x]x-0存在，則稱f(x)在x0點(diǎn)可微，這個(gè)極限值稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在x0處，記為f`(x0)。這里的定義也是逐點(diǎn)的。可以看出，極限傳達(dá)了可微性和可微性。limy/xx-0=lim{A*x+o(x))/x=Ax-0導(dǎo)數(shù)由極限描述。極限分為左極限和右極限，不難得出導(dǎo)數(shù)分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單邊導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在定理：導(dǎo)數(shù)f`(x0)存在==該點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。即f`-(x0)=f`+(x0)是可微-可微定理：f(x)在x0可微==f(x)在x0可微，且A=f`(x0)；即y=f`(x0)x+o(x)。有限增量公式基于可微連續(xù)定理和可微-可微?？梢缘贸鼋Y(jié)論，如果f在x0處可微，則它在x0處連續(xù)。體現(xiàn)了可微、可導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系。導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)f在區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，則稱為f在I上的可微函數(shù)。提醒一下，每個(gè)點(diǎn)都是可微的，可以推論每個(gè)點(diǎn)都是連續(xù)的，可以得出它是一致連續(xù)的，即I上的可微函數(shù)是I上的一致連續(xù)函數(shù)。注意與前面知識(shí)的連續(xù)性、連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)、微分關(guān)系。關(guān)閉。第2節(jié)重點(diǎn)介紹導(dǎo)數(shù)方法和導(dǎo)數(shù)公式：

導(dǎo)數(shù)的定義：lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)x-x0導(dǎo)數(shù)的四次算術(shù)運(yùn)算與函數(shù)極限的四次算術(shù)運(yùn)算類似。加減定理：如果函數(shù)u(x)和v(x)在x0處可微，則函數(shù)f(x)=u(x)v(x)在x0處可微，且f`(x0)=u`(x0)v`(x0)乘法定理：如果函數(shù)u(x)和v(x)在x0處均可微，則函數(shù)f(x)=u(x)v(x)在x0可微，且f`(x0)=u`(x0)v(x0)+u(x0)v`(x0)推論：如果函數(shù)v(x)在x0處均可微，并且C是常數(shù)，那么函數(shù)Cv(x)在x0處可微，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)除法定理：如果函數(shù)u(x)、v(x)在x0處可微，并且v(x0)0，則函數(shù)f(x)=u(x)/v(x)在x0處可微，且f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2反函數(shù)推導(dǎo)定理：令y=f(x)為x=(y)的反函數(shù)。如果(y)在點(diǎn)y0的鄰域內(nèi)連續(xù)，則它是嚴(yán)格單調(diào)的。且`(y0)0，則f(x)在x0上可微，且f`(x0)=1/`(y0)復(fù)合推導(dǎo)定理：y=f(u)在u0,u上可微=g(x)在x0處可微，u0=g(x0)，則復(fù)合函數(shù)fOg在x0處可微，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g(x0)=f(g(x0))·g`(x0)，這也稱為鏈?zhǔn)椒▌t。第三節(jié)講微分的計(jì)算和應(yīng)用：根據(jù)導(dǎo)數(shù)規(guī)則，dy=f`(x)dxxI，不難推導(dǎo)出微分運(yùn)算規(guī)則

d[u(x)v(x)]=du(x)dv(x)d[u(x)·v(x)]=v(x)·du(x)+u(x)·dv(x)d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)d[fOg(x)]=f`(u)g(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，這稱為一階微分形式不變性，可以用來推導(dǎo)積分代換公式。應(yīng)用：工程中的近似計(jì)算，取x0=0，x=x，在x0=0附近，f(x)f(0)+f`(0)x，當(dāng)|x|時(shí)足夠小，sinxx，tanxx，ln(1+x)x，1/(1+x)1-x，e^x1+x；也用在測(cè)量誤差、高階導(dǎo)數(shù)和高階微分第四節(jié)中，前面提到的微分和導(dǎo)數(shù)都是一階的，這里我們學(xué)習(xí)高階的：

一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是二階導(dǎo)數(shù)。其定義與一階導(dǎo)數(shù)類似。這里只講形式：lim(f`(x)-f`(x0)/(x-x0)=f`(x0)，同樣有三階導(dǎo)數(shù)，n-階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)公式：y^(n)=[y^(n-1)]`高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)則：1)[Cu(x)]^(n)=Cu^(n)(x)C是常數(shù)2)[u(x)v(x)]^(n)=[u(x)]^(n)[v(x)]^(n)3)[u(x)v(x)]^(n)=Cn^ku^(n-k)(x)v^(n)(x)，萊布尼茨公式的二階微分：d(dy)=d(f`(x)dx)=(f``(x)dx)·dx=f``(x)(dx)^2，記為d^2y=f``(x)dx^2n階微分：d^ny=f^(n)(x)dx^n，從二階微分開始，失去微分形式的不變性第五節(jié)，參數(shù)方程和導(dǎo)數(shù)，偏向應(yīng)用

參數(shù)方程的定義：用輔助變量t表示高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系——擺線方程本章最重要的是導(dǎo)數(shù)和微分的概念和公式。接下來的兩節(jié)更實(shí)用。