數(shù)三不定積分范圍(數(shù)學(xué)三不定積分真題)

1.代換積分法

第一類：由基本微分公式推導(dǎo)出來的綜合微分公式

定理1：假設(shè)f(u)有原函數(shù)且u=(x)可微，則有代入公式：

f[(x)]’(x)dx=[f(u)du]u=(x)。

步：

(1)將被積函數(shù)中的簡單因子組成復(fù)合函數(shù)中間變量的微分；

(2)引入中間變量作為替代；(3)利用基本積分公式計算不定積分；

(4)變量恢復(fù)。

常用的微分公式：

(1)(1/x)dx=2d(x)；

(2)(1/x)dx=-d(1/x)；

(3)(1/x)dx=d(ln|x|)；

(4)exdx=dex；

(5)cosxdx=dsinx;

(6)sinxdx=-dcosx;

(7)(1/cosx)dx=secxdx=dtanx；

(8)(1/sinx)dx=-cscxdx=-dcotx；

(9)[1/(1-x)]dx=d(arcsinx)=-d(arccocx)；

(10)[1/(1+x)]dx=d(arctanx)=-d(arccotx)。

第2類：

定理2：假設(shè)x=(t)是單調(diào)可微函數(shù)，且'(t)0，且假設(shè)f[(t)]'(t)有原函數(shù)，則有代入公式：f(x)dx=[f[(t)]'(t)dt]-1(t)，其中-1(t)是x=(t)的反函數(shù)。

三角函數(shù)代換法：

三角形代換法

(a-x)=acost，令x=asint,t(-/2,/2)；

(a+x)=aect，令x=atant，t(-/2,/2)；

(x-a)=atant，設(shè)x=aect，t(0,/2)。

簡單的無理數(shù)代換法：

R(x,n(ax+b))dx，設(shè)t=n(ax+b)；

R(x,n(ax+b),m(ax+b))dx，令t=p(ax+b)（p為m、n的最小公倍數(shù)）；

R(x,n[(ax+b)/(cx+d)])dx，設(shè)t=n[(ax+b)/(cx+d)]。

逆代換法：如果被積函數(shù)中存在分?jǐn)?shù)函數(shù)，且分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，可以嘗試使用逆代換，即令x=1/t。使用這種替換，通?？梢韵环e函數(shù)分母中的變量因子x。

指數(shù)代入法：設(shè)ex=t。

常用積分公式補充：

tanxdx=-ln|cosx|+C;cotxdx=ln|sinx|+C;cscxdx=ln|cscx-cotx|+C;

secxdx=ln|secx+tanx|+C;1/(a+x)dx=(1/a)arctan(x/a)+C;

1/(x-a)dx=(1/2a)ln[(x-a)/(x+a)]+C;

1/(a-x)dx=arcsin(x/a)+C(a>0);

1/（a+x）dx=ln|x+（a+x）|+C;1/（x-a）dx=ln|x+（x-a）|+C。

2.分部積分法（利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)規(guī)則求導(dǎo)）

定理1：假設(shè)函數(shù)u=u(x),v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則udv=uv-vdu。

補充：v比較容易找到；vdu比udv更容易找到；

當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與正弦、余弦或指數(shù)函數(shù)的乘積時，冪函數(shù)在d前面，正弦、余弦或指數(shù)函數(shù)在d后面；

當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時，對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)在d前面，冪函數(shù)在d后面；

當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的乘積時，可以選擇任意函數(shù)進行微分。經(jīng)過兩次部分積分后，會恢復(fù)到原來的積分形式，但系數(shù)會發(fā)生變化。這稱為循環(huán)方法；

在求不定積分的過程中，有時需要同時使用代入法和分部積分法。

3.有理函數(shù)的積分和三角函數(shù)有理式的積分

有理函數(shù)的積分：

有理函數(shù)的形式：有理函數(shù)是用兩個多項式的商表示的函數(shù)，即具有以下形式的函數(shù)：

P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+a2xn-2+.+an-1x+an)/(b0xm+b1xm-1+b2xm-2+.+bm-1x+am)其中，m、n為非負(fù)整數(shù)，a0、a1、a2、an和b0、b1、b2、bm均為實數(shù)，且a00、b00。當(dāng)n

求真分?jǐn)?shù)的不定積分：如果分母可以因式分解，則先將其因式分解，然后將其轉(zhuǎn)換為部分分?jǐn)?shù)，然后積分。

三角函數(shù)有理表達(dá)式的積分：

三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次數(shù)的四次算術(shù)運算而組成的函數(shù)。其特點是分子和分母都包含三角函數(shù)的和、差、乘積運算。由于各種三角函數(shù)都可以用sinx和cosx的有理式來表示，所以三角函數(shù)的有理式也是sinx和cosx的有理式。將sinx和cosx轉(zhuǎn)換為tan(x/2)的函數(shù)，然后變換u=tan(x/2)。sinx=2u/1+u；cosx=（1-u）/（1+u）

并非所有三角函數(shù)有理表達(dá)式的積分都需要轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)積分。