輔助角公式的原理(輔助角公式的作用是什么)

將(x,y)重寫為(rcos,rsin)的方法稱為“極坐標(biāo)變換”。因為原點是圓心，所以半徑為r的圓是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2+y2=r2'role='presentation'x2+y2=r2x^2+y^2=r^2，而重寫后的值總是成立的，所以r的含義是與點(x,y)到原點。特別地，當(dāng)r=1時，為(cos,sin)。

在極坐標(biāo)中，的含義比較明顯，即原點與x軸正半軸與點(x,y)連線的夾角。

在空間上，有相應(yīng)的“球坐標(biāo)變換”，即將(x,y,z)重寫為(rsincos,rsinsin,rcos)。其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2+y2+z2=r2[sin2#x2061;#x03C6;(cos2#x2061;#x03B8;+sin2#x2061;#x03B8;)+cos2#x2061;#x03C6;]=r2'角色='演示'x2+y2+z2=r2[sin2(cos2+sin2)+cos2]=r2x^2+y^2+z^2=r^2[\sin^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\cos^2\varphi]=r^2，即r也代表點(x,y,z)到原點的距離。

但連接該點到原點的線的方向需要用兩個角度和來表示。首先，制作z軸正半軸與連接線的夾角，記為，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='tan#x2061;#x03C6;=zx2+y2'角色='演示'tan=zx2+y2\tan\varphi=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}。然后在xOy平面上做連線的投影，最后做x軸正半軸與投影的夾角，記為，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='tan#x2061;#x03B8;=yx'角色='演示'tan=yx\tan\theta=\frac{y}{x}。那么和就可以唯一確定連接線的方向（除了z軸上的點，此時是任意的）。

本題中，r=1，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='m=22x#x2212;23y#x2212;4z6=2x#x2212;3y#x2212;2z3'角色='演示'm=22x23y4z6=2x3y2z3m=\frac{2\sqrt{2}x-2\sqrt{3}y-4z}{6}=\frac{\sqrt{2}x-\sqrt{3}y-2z}{3}，經(jīng)過球坐標(biāo)變換后，rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='m=2sin#x2061;#x03C6;cos#x2061;#x03B8;#x2212;3sin#x2061;#x03C6;sin#x2061;#x03B8;#x2212;2cos#x2061;#x03C6;3'角色='演示'm=2sincos3sinsin2cos3m=\frac{\sqrt{2}\sin\varphi\cos\theta-\sqrt{3}\sin\varphi\sin\theta-2\cos\varphi}{3}rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='=53sin#x2061;#x03C6;sin#x2061;(#x03B8;+#x03C0;#x2212;arctan#x2061;63)#x2212;23cos#x2061;#x03C6;'角色='演示'=53sinsin(+arctan63)23cos=\frac{\sqrt{5}}{3}\sin\varphi\sin(\theta+\pi-\arctan\frac{\sqrt{6}}{3})-\frac{2}{3}\cos\varphi。

記住rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;=#x03B8;+#x03C0;#x2212;arctan#x2061;63'角色='演示'=+arctan63\alpha=\theta+\pi-\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}，那么顯然當(dāng)|sin|=1時，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(53sin#x2061;#x03B1;)2+(#x2212;23)2'角色='演示'(53sin)2+(23)2\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{3}\sin\alpha)^2+(-\frac{2}{3})^2}取最大值1，進一步利用的輔助角度公式求得最大值。當(dāng)sin=1時，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='m=sin#x2061;(#x03C6;#x2212;arctan#x2061;25)=sin#x2061;#x03B2;'角色='演示'm=sin(arctan25)=sinm=\sin(\varphi-\arctan\frac{2}{\sqrt{5}})=\sin\beta;或者當(dāng)sin=-1時，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='m=sin#x2061;(#x03C6;#x2212;#x03C0;+arctan#x2061;25)=sin#x2061;#x03B2;'角色='演示'm=sin(+arctan25)=sinm=\sin(\varphi-\pi+\arctan\frac{2}{\sqrt{5}})=\sin\貝塔；m可以取最大值1和最小值-1。

觀察m=1的條件，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x03B1;=#x00B1;#x03C0;2+2k#x03C0;'role='presentation'=2+2k\alpha=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x03B2;=#x03C0;2+2k#x03C0;'role='presentation'=2+2k\beta=\frac{\pi}{2}+2k\pi，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B8;=arctan#x2061;63#x2212;#x03C0;2'角色='演示'=arctan632\theta=\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\pi}{2},rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03C6;=arctan#x2061;25+#x03C0;2'角色='演示'=arctan25+2\varphi=\arctan\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{\pi}{2};或rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B8;=arctan#x2061;63+#x03C0;2'角色='演示'=arctan63+2\theta=\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{\pi}{2}，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03C6;=arctan#x2061;25#x2212;#x03C0;2'角色='演示'=arctan252\varphi=\arctan\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{\pi}{2}（因通常取0而被忽略）。因此rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='x=sin#x2061;#x03C6;cos#x2061;#x03B8;=522+5#x22C5;632+6=23'角色='演示'x=sincos=522+5632+6=23x=\sin\varphi\cos\theta=\sqrt{\frac5{2^2+5}}\cdot\sqrt{\frac6{3^2+6}}=\frac{\sqrt2}3，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=sin#x2061;#x03C6;sin#x2061;#x03B8;=53#x22C5;(#x2212;315)=#x2212;33'角色='演示'y=sinsin=53(315)=33y=\sin\varphi\sin\theta=\frac{\sqrt5}{3}\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{15}}\right)=-\frac{\sqrt3}3,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='z=cos#x2061;#x03C6;=#x2212;23'角色='演示'z=cos=23z=\cos\varphi=-\frac{2}3。

同理可得m=-1的條件：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B8;=arctan#x2061;63+#x03C0;2'角色='演示'=arctan63+2\theta=\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{\pi}{2}，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03C6;=arctan#x2061;25+#x03C0;2'角色='演示'=arctan25+2\varphi=\arctan\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{\pi}{2},rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x=#x2212;23'角色='演示'x=23x=-\frac{\sqrt2}3，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=33'role='presentation'y=33y=\frac{\sqrt3}3、rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='z=23'角色='presentation'z=23z=\frac23。最大值與方位角的關(guān)系就是m的幾何意義。與平面問題相反，需要兩個三角函數(shù)值來表示它。

若不代入|sin|=1，直接用輔助角公式，也可得到m的表達式：0)\\\frac{\sqrt{5\sin^2\alpha+4}}3\cos\varphi\\\(\sin\alpha=0)\\\frac{\sqrt{5\sin^2\alpha+4}}3\sin(\varphi-\pi+\arctan\frac{2}{\sqrt{5}|\sin\alpha|})\\\(\sin\alpha0)\\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='m={5sin2#x2061;#x03B1;+43sin#x2061;(#x03C6;#x2212;arctan#x2061;25sin#x2061;#x03B1;)#xA0;#xA0;#xA0;(sin#x2061;#x03B1;gt;0)5sin2#x2061;#x03B1;+43cos#x2061;#x03C6;#xA0;#xA0;#xA0;(sin#x2061;#x03B1;=0)5sin2#x2061;#x03B1;+43sin#x2061;(#x03C6;#x2212;#x03C0;+arctan#x2061;25|sin#x2061;#x03B1;|)#xA0;#xA0;#xA0;(sin#x2061;#x03B1;lt;0)'角色='演示'm={5sin2+43sin(arctan25sin)(sin0)5sin2+43cos(sin=0)5sin2+43sin(+arctan25|sin|)(sin0)m=\begin{方程}\left\{\begin{對齊}\frac{\sqrt{5\sin^2\alpha+4}}3\sin(\varphi-\arctan\frac{2}{\sqrt{5}\sin\alpha})\\\(\sin\alpha0)\\\frac{\sqrt{5\sin^2\alpha+4}}3\cos\varphi\\\(\sin\alpha=0)\\\frac{\sqrt{5\sin^2\alpha+4}}3\sin(\varphi-\pi+\arctan\frac{2}{\sqrt{5}|\sin\alpha|})\\\(\sin\alpha0)\\\end{對齊}\right。\end{方程}。也可求出m獲得最優(yōu)值的條件。

我們來看一下m值與三角函數(shù)的關(guān)系。在平面中，原點是固定的，繞原點旋轉(zhuǎn)總是可以得到坐標(biāo)軸的方向。找到m取最大值的條件后，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，使m=1的方向為y軸方向，則m=sin為的正弦函數(shù)，其中為中的角度新的坐標(biāo)系。這就是輔助角公式的含義。就拿第一個問題來說，就是逆時針旋轉(zhuǎn)rametabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03C0;#x2212;arctan#x2061;34'role='presentation'arctan34\pi-\arctan\frac34弧度（該點的坐標(biāo)相應(yīng)地順時針旋轉(zhuǎn)）。用原來的坐標(biāo)系來表示m，則rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='m=sin#x2061;#x03B8;#x2032;=sin#x2061;(#x03B8;#x2212;#x03C0;+arctan#x2061;34)'角色='演示'm=sin=sin(+arctan34)m=\sin\theta=\sin(\theta-\pi+\arctan\frac34)。

同樣，在空間中，原點不變，這樣m=1的方向就是z軸，然后任意選擇與z軸垂直且相互垂直的x軸和y軸，則m=余弦。因此，m也可以用三角函數(shù)來表示。但由于空間中的方向需要兩個參數(shù)，即使原點固定，也無法通過固定軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸來獲得所有情況。因此，利用空間中的代數(shù)方法很難直接得到原始坐標(biāo)系中的相似表達式，即輔助角公式。也就是說，得到的輔助角度公式不夠簡單美觀（以第二題為例）：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：顏色：綠色；'data-mathml='m=cos#x2061;#x03C6;#x2032;=cos#x2061;(arccos#x2061;(5sin2#x2061;#x03B1;+43sin#x2061;#x03B2;))'角色='表示'm=cos=cos(arccos(5sin2+43sin))m=\cos\varphi=\cos(\arccos(\frac{\sqrt{5\sin^2\alpha+4}}3\sin\beta))。

其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;=#x03B8;+#x03C0;#x2212;arctan#x2061;63'角色='演示'=+arctan63\alpha=\theta+\pi-\arctan\frac{\sqrt{6}}{3},0)\\\\varphi-\frac{\pi}{2}\\\(sin\alpha=0)\\\varphi-\pi+\arctan\frac{2}{\sqrt{5}|\sin\alpha|}\\\(\sin\alpha0)\\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B2;={#x03C6;#x2212;arctan#x2061;25sin#x2061;#x03B1;#xA0;#xA0;#xA0;(sin#x2061;#x03B1;gt;0)#xA0;#x03C6;#x2212;#x03C0;2#xA0;#xA0;#xA0;(sin#x03B1;=0)#x03C6;#x2212;#x03C0;+arctan#x2061;25|sin#x2061;#x03B1;|#xA0;#xA0;#xA0;(sin#x2061;#x03B1;lt;0)'角色='演示'={arctan25sin(sin0)2(sin=0)+arctan25|sin|(sin0)\beta=\begin{方程}\left\{\begin{對齊}\varphi-\arctan\frac{2}{\sqrt{5}\sin\alpha}\\\(\sin\alpha0)\\\\varphi-\frac{\pi}{2}\\\(sin\alpha=0)\\\varphi-\pi+\arctan\frac{2}{\sqrt{5}|\sin\alpha|}\\\(\sin\alpha0)\\\end{對齊}\right。\end{方程},rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03C6;#x2032;=arccos#x2061;(5sin2#x2061;#x03B1;+43sin#x2061;#x03B2;)'角色='演示'=arccos(5sin2+43sin)\varphi=\arccos(\frac{\sqrt{5\sin^2\alpha+4}}3\sin\beta)是新坐標(biāo)系中的角度。