數(shù)學(xué)平行垂直定理(初中平行與垂直)

《平行垂直》中你不可忽視的知識(shí)點(diǎn)

一、知識(shí)梳理

1、平行線的定義：

不在同一平面內(nèi)相交的兩條直線稱為平行線。

2、平行的表示：

用符號“”表示，發(fā)音為“平行于”。

3、同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系：

平行或相交。

4、平行公理：

通過直線外一點(diǎn)，存在且只有一條與已知直線平行的直線。

5、平行的傳遞性：

與同一條直線平行的兩條直線平行。

6、平行與角的聯(lián)系：

如果一個(gè)角的兩條邊與另一個(gè)角的兩條邊平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

7、垂直定義：

如果兩條直線所成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角，則這兩條直線互相垂直。

其中一條直線稱為另一條直線的垂線。它們的交點(diǎn)稱為垂直腳。

兩條線段和射線垂直是指這兩條線段和射線所在的直線互相垂直。

8、垂直的表示：

用符號“”表示，發(fā)音為“垂直于”。

9、垂直公理：

存在且僅有一條與通過一點(diǎn)的已知直線垂直的直線。

10、點(diǎn)到直線的距離：

從直線外一點(diǎn)到直線的垂直線段的長度。

11、垂線段的性質(zhì)：

連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂直線段最短。

12、垂直與角的聯(lián)系：

如果一個(gè)角的兩條邊垂直于另一個(gè)角的兩條邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

二、典型例題

示例1.概念分析

(1)兩條不相交的直線稱為平行線。

(2)兩條直線不相交則平行。

(3)兩條射線或線段平行，是指它們所在的直線平行。

(4)不在同一平面內(nèi)相交的兩條線段必須平行。

(5)過一點(diǎn)，存在且只有一條與已知直線平行的直線。

(6)同一平面內(nèi)與同一條直線垂直的兩條直線互相平行。

(7)A點(diǎn)為直線l外的點(diǎn)，B點(diǎn)為直線l上的點(diǎn)。若AB=5cm，則A點(diǎn)到直線l的距離為5cm。

解析：

(1)錯(cuò)誤，必須在同一平面內(nèi)相加，否則在立體幾何中，會(huì)出現(xiàn)平面外的情況。例如，對于正方體，上邊緣與正面相交、右邊緣與背面相交的直線既不平行也不相交。

分析：

要求垂直線段，首先要找到所有的垂直腳，因?yàn)榇怪本€段就是直線以外的點(diǎn)到垂直腳的距離。這里的垂直腳顯然只有P和H，所以O(shè)點(diǎn)和C點(diǎn)可以與P點(diǎn)和H點(diǎn)構(gòu)成垂直線段。

為了將垂直線段的長度解釋為從哪一點(diǎn)到哪條直線的距離，必須選擇垂直線段的兩個(gè)端點(diǎn)之間的不是垂直腳的點(diǎn)到垂直于另一條直線的距離。垂直線段所在的垂直線段。

解答：

(1)OP，OP的長度是點(diǎn)O到直線PC的距離。

CP，CP的長度是點(diǎn)C到直線OB的距離。

OH，OH的長度是點(diǎn)O到直線PH的距離。

CH，CH的長度是點(diǎn)C到直線PH的距離。

PH，PH的長度是點(diǎn)P到直線OC的距離。

(2)PHPCOC。

三、思維提升

示例3.思考類作圖

已知同一平面內(nèi)線段AB的長度為10cm，則A點(diǎn)和B點(diǎn)到直線l的距離分別為6cm和4cm。滿足條件的直線有多少條？

分析：

顯然，學(xué)生都能想到畫線段AB的垂線，并將線段AB分成6cm和4cm兩部分。但實(shí)際上，線段AB兩側(cè)有兩個(gè)圓，以A和B為圓心，半徑分別為6cm和4cm。當(dāng)畫出的直線與兩個(gè)圓只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，也符合題意。這樣的直線有兩條，即總共有三條。

到了初三，我們就會(huì)知道這三條線就是畫的兩個(gè)圓的切線。

解答：

如圖，紅色的三條直線就是你想要的。

變體

如圖所示，在平面中，兩條直線l1和l2相交于點(diǎn)O。對于平面中的任意點(diǎn)M，如果p和q分別是點(diǎn)M到直線l1和l2的距離，則(p,q)稱為點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”。根據(jù)上述規(guī)定，有________個(gè)點(diǎn)，其“距離坐標(biāo)”為(2,1)。

分析：

我們可以先找到線，再確定點(diǎn)。首先找到距離l1距離為2的直線和距離12距離為1的直線。顯然，它們的交點(diǎn)就滿足了題意。

畫完圖不難發(fā)現(xiàn)，有2條距離l1距離為2的直線和2條距離12距離為1的直線。這4條直線相互相交，有4個(gè)交點(diǎn)。這4個(gè)交點(diǎn)就是‘距離坐標(biāo)’，就是(2,1)的點(diǎn)。

解答：

如圖所示，距離l1距離為2的直線是兩條藍(lán)色直線，距離12距離為1的直線是兩條紅色直線。這四個(gè)交點(diǎn)就是所尋求的。