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怎么判斷正弦函數(shù)的一個(gè)周期是否存在(怎么判斷正弦函數(shù)的一個(gè)周期是否相等)

發(fā)布時(shí)間:2024-12-05 22:52:47 奧數(shù) 418次 作者:合肥育英學(xué)校

對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取域中的每個(gè)值時(shí)f(x+T)=f(x)成立,則函數(shù)y=f(x)稱為周期函數(shù),非零常數(shù)T稱為該函數(shù)的周期。事實(shí)上,任何常數(shù)kT(kZ,且k0)都是它的周期。并且周期函數(shù)f(x)的周期T是與x無(wú)關(guān)的非零常數(shù),并且周期函數(shù)不一定具有最小正周期。

決策定理

怎么判斷正弦函數(shù)的一個(gè)周期是否存在(怎么判斷正弦函數(shù)的一個(gè)周期是否相等)

周期函數(shù)定理可以分為幾種類型。

定理1

如果f(x)是一個(gè)周期函數(shù),其中T*作為集合M上的最小正周期,則Kf(x)+C(K0)和1/f(x)是集合M且分別為以T*為{X/f(x)0,XM}上的最小正周期的周期函數(shù)。

證書(shū):

T*是f(x)的周期,有XT*且f(x+T*)=f(x),Kf(x)+C=Kf(x+T*)+C。

Kf(x)+C也是M上以T*為周期的周期函數(shù)。

假設(shè)T*不是Kf(x)+C的最小正周期,則必定存在T'(0T'T*)為Kf(x)+C的周期,則對(duì)于T'(0T'T*)是Kf(x)+C的周期有Kf(x+T')+C=Kf(x)+CK[f(x+T')-f(x)]=0,K0,f(x+T')-f(x)=0,f(x+T')=f(x),

T’是f(x)的周期,與T*是f(x)的最小正周期不一致。T*也是Kf(x)+C的最小正周期。

同理,可以證明1/f(x)是集合{X/f(x)0,X}上以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

定理2

如果f(x)是集合M上的周期函數(shù),以T*為最小正周期,則f(ax+n)是集合{x|ax+bM}上的周期函數(shù),其中T*/a作為具有正周期的最小A周期函數(shù)(其中a和b是常數(shù))。

證書(shū):

先證者的周期f(ax+b)。

T*為f(x)的周期,f(xT*)=f(x),有XT*M,將x替換為ax+b,f(axT*+b)=f(ax+b),此時(shí)ax+bM,提取a作為公因子,f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)T*/a是f(ax+b)的周期。

再次證明它是f(ax+b)的最小正周期。

假設(shè)有一個(gè)周期T'/a(0T'T*;)即f(ax+b),則f(a(x+T'/a)+b)=f(ax+b),使用x/a-b/a替換x,并且f(x+T')=f(x)

T’是f(x)的周期,但T’T*與T*是f(x)的最小正周期不一致。

不存在f(ax+b)的周期T’/a(0T’T*;),即f(ax+b)的最小正周期為T*/a。[1]

定理3

假設(shè)f(u)是定義在集合M上的函數(shù),u=g(x)是集合M1上的周期函數(shù),當(dāng)XM1,g(x)M時(shí),則復(fù)合函數(shù)f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

證書(shū):

假設(shè)T是u=g(x)的周期,則1有(xT)M1且g(x+T)=g(x)f(g(x+T))=f(g(X))

=f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

示例1

假設(shè)=f(u)=u2是非周期函數(shù),u=g(x)=cosx是實(shí)數(shù)集R上的周期函數(shù),則f(g(x))=cos2x是R上的周期函數(shù)。

同理可得:f(x)=Sin(cosx),f(x)=Sin(tgx),f(x)=Sin2x,f(n)=Log2Sinx(sinx0)也是周期函數(shù)。

實(shí)施例2

f(n)=Sinn是周期函數(shù),n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函數(shù),f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函數(shù)函數(shù)(中學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)證)。

實(shí)施例3

f(n)=cosn是周期函數(shù),n=g(x)=(非周期函數(shù))且f(g(x))=cos是非周期函數(shù)。

證明:假設(shè)cos是周期函數(shù),則存在T0使得cos(kZ)與T是獨(dú)立于X的常數(shù)的定義相矛盾,

cos不是周期函數(shù)。

如示例2和示例3所示,如果f(u)是周期函數(shù)并且u=g(X)是非周期函數(shù),則f(g(x))可能是也可能不是周期函數(shù)。

定理4

假設(shè)f1(x)和f2(x)都是集合M上的周期函數(shù),T1和T2分別是它們的周期。若T1/T2Q,則它們的和、差、積也是M上的周期函數(shù)。T1和T2的公倍數(shù)就是它們的周期。

證書(shū):

假設(shè)((p·q)=1)假設(shè)T=T1q=T2p,則:(xT)=(xT1q)=(xT2p)M,且f1(x+T)f2(x+T)=f1(x+T1q)f2(x+T2p)=f1(X)f2(X),f1(X)f2(X)基于T1和T2的公倍數(shù)T為周期周期函數(shù)。同理,可以證明f1(x)和f2(x)是以T為周期的周期函數(shù)。

推理

假設(shè)f1(x)、f2(x).fn(x)分別是集合M上的有限數(shù)量的周期函數(shù)T1、T2.Tn,如果.(或T1、T2中的任何一個(gè)。Tn兩者之比)都是有理數(shù),那么這n個(gè)函數(shù)的和、差、積也是M上的周期函數(shù)。

示例1

f(x)=Sinx-2cos2x+sin4x是周期函數(shù),周期為2,即2、和/2的最小公倍數(shù)。

實(shí)施例2

討論f(X)=的周期性。

解:2tg3是以T1=為最小正周期的周期函數(shù)。

5tg是以T2為最小正周期的周期函數(shù)。

tg2是周期函數(shù),T3=為最小正周期。

它們都是有理數(shù)

f(x)是以T1,T2,T3(T1,T2,T3)=的最小公倍數(shù)作為最小正周期的周期函數(shù)。

同樣的原理可以證明:

f(x)=cos;

f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函數(shù)。

定理5

假設(shè)f1(x)=sina1x,f2(x)=cosa2x,則f1(x)與f2(x)的和、差、積為周期函數(shù)的充要條件為a1/a2Q。

證書(shū):

先證者充分性:

如果a1/a2Q,則令T1和T2分別為f1(x)和f2(x)的最小正周期。根據(jù)定理4,我們可以得到f1(x)和f2(x)的和、差、乘積都是周期函數(shù)。

重新證明必要性(僅證明f1(x)和f2(x)的差和乘積)。

假設(shè)sina1x-cosa2x是周期函數(shù),則必有常數(shù)T0,

令sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x2cos(a1x+T)sin=-2sin(a2x+T)sin。

設(shè)x=2cos(a1x+T),則(KZ)。

或CZ

并在中令2sin(a2x+T)sin=-2sin=0

由罪

根據(jù)上述(2)和(3),(4)和(5)至少之一為真。

由,得

無(wú)論、、中哪一個(gè)公式成立,都有a1/a2。

假設(shè)sinaxcosa2x是周期函數(shù),則是周期函數(shù)。

測(cè)定方法

周期函數(shù)的確定方法分為以下步驟:

(1)判斷f(x)的定義域是否有界;

示例:f(x)=cosx(10)不是周期函數(shù)。

(2)根據(jù)定義,在討論函數(shù)的周期性時(shí),可以看出,在f(x+T)=f(x)的關(guān)系中,非零實(shí)數(shù)T與x無(wú)關(guān)。因此,可以通過(guò)求解方程f(x+T)-f(x)=0來(lái)解決討論。如果我們可以求解一個(gè)與x無(wú)關(guān)的非零常數(shù)T,我們可以得出函數(shù)f(x)是周期函數(shù)。如果這樣的T不存在,則f(x)是非周期函數(shù)。

示例:f(x)=cosx^2是非周期函數(shù)。

(3)一般用反證法證明。(如果f(x)是周期函數(shù),則導(dǎo)出矛盾,而f(x)是非周期函數(shù))。

例子:證明f(x)=ax+b(a0)是非周期函數(shù)。

證明:假設(shè)f(x)=ax+b是周期函數(shù),則T(0)存在,則a(x+T)+b=ax+bax+aT-ax=0,aT=0另外,a0,T=0與T0不一致,f(x)是非周期函數(shù)。

示例:證明f(x)=ax+b是非周期函數(shù)。

證明:假設(shè)f(x)是周期函數(shù),則必然存在一對(duì)T(0),其中(x+T)=f(x)。當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,但x+T0,f(x+T)=1,f(x+T)f(x)與f(x+T)矛盾=f(x),f(x)是非周期函數(shù)。

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