高等數(shù)學十二五規(guī)劃教材(高等數(shù)學十大定理公式)

上一節(jié)首先給出了函數(shù)項序列的一致收斂定義，最后給出了函數(shù)項序列的一致收斂定義，即部分和函數(shù)序列一致收斂。下面將介紹相關(guān)條件和判別方法，以及一致收斂。收斂級數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)項級數(shù)一致收斂的條件

函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件：

若函數(shù)項系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)inrametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX，則其一般項目序列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='{un(x)}'角色='演示文稿'{un(x)}\{u_n(x)\}inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收斂于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='0'role='presentation'00，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='un(x)#x21C9;0,x#x2208;X(n#x2192;#x221E;)。'角色='呈現(xiàn)'un(x)0,xX(n).u_n(x)\rightrightarrows0,x\inX(n\to\infty)。

（如果不收斂到零，則無窮項相加也不會收斂。這個和數(shù)值級數(shù)類似）

關(guān)于均勻收斂的柯西準則（函數(shù)項系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'role='presentation'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)inthesetrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='X'role='presentation'在XX上一致收斂的充要條件）：

0,\存在N(\varepsilon),s.t.if\nN(\varepsilon),\forallp\inZ^+,\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|\varepsilon,for\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;#x03B5;gt;0,#x2203;N(#x03B5;),s.t.if#xA0;ngt;N(#x03B5;),#x2200;p#x2208;Z+,|#x2211;k=n+1n+puk(x)|lt;#x03B5;對于#xA0;#x2200;x#x2208;X。角色='演示'0,N(),s.t.ifnN(),pZ+,|k=n+1n+puk(x)|,forxX.\forall\varepsilon0,\存在N(\varepsilon),s.t.if\nN(\varepsilon),\forallp\inZ^+,\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|\varepsilon，對于X中的所有x。

（柯西準則說只要rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='n'role='presentation'nn如果足夠大，后面幾項的總和總是可以任意小，無論哪個ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x'角色='演示'xx。）

函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法

強系列標準（Weierstrass標準或rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='M'role='presentation'MM判別方法）：

若函數(shù)項系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)'s通用項滿足：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='|un(x)|#x2264;an,#x2200;x#x2208;X,n=1,2,#x22EF;'角色='演示'|un(x)|an,xX,n=1,2,|u_n(x)|\lea_n,\forallx\inX,n=1,2,\cdots和正系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an'role='presentation'n=1an\sum_{n=1}^\inftya_n收斂，則函數(shù)項級數(shù)為rame'tabindex='0'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收斂。

(rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an'角色='演示'n=1an\sum_{n=1}^\inftya_n稱為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)的強級數(shù)

這種判別方法非常直觀好理解。收斂域中的每一項都小于收斂正項級數(shù)的對應項，因此顯然它本身是收斂的。強級數(shù)判別法本質(zhì)上可以識別那些在通項加上絕對值后仍然一致收斂的級數(shù)。

為了給出更廣泛范圍的級數(shù)的判別式，我們首先引入一致有界函數(shù)序列的概念：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2203;M#x2208;R,|fn(x)|#x2264;M(n=1,2,#x22EF;#x2200;x#x2208;X)。'角色='呈現(xiàn)'MR,|fn(x)|M(n=1,2,,xX).\存在M\inR,|f_n(x)|\leM(n=1,2,\cdots,\對于所有x\inX)。

就像收斂性推廣到一致收斂一樣，這里一致有界性的本質(zhì)是序列有界性的推廣。

通過一致有界性的定義，我們可以將狄利克雷判別法和阿貝爾判別法遷移到函數(shù)項級數(shù)上。

狄利克雷判別法（單調(diào)一致收斂于零和部分且序列一致有界）：

若函數(shù)項系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)in集合RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX定義，其通用術(shù)語rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='un(x)'role='presentation'un(x)u_n(x)可以寫成rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='un(x)=an(x)#x22C5;bn(x),#x2200;x#x2208;X。'角色='演示'un(x)=an(x)bn(x),xX.u_n(x)=a_n(x)\cdotb_n(x),\forallx\inX.

如果rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='un(x)'role='presentation'un(x)u_n(x)滿足以下條件：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;X'角色='演示文稿'xX\forallx\in='演示文稿'{an(x)}\{a_n(x)\}到rame'tabindex='0'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='n'role='presentation'nn單調(diào)，且rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='{an(x)}#x21C9;0,#x2200;x#x2208;X。'角色='演示'{an(x)}0,xX.\{a_n(x)\}\rightrightarrows0,\forallx\in=1nbk(x),#x2203;M#x2208;R,|Bn(x)|#x2264;M(#x2200;x#x2208;X,n=1,2,#x22EF;)。'角色='演示'IfBn(x)=k=1nbk(x),MR,|Bn(x)|M(xX,n=1,2,).If\B_n(x)=\sum_{k=1}^nb_k(x),\存在M\inR,\left|B_n(x)\right|\leM(\forallx\inX,n=1,2，\c點）。然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an(x)#x22C5;bn(x)'角色='演示'n=1an(x)bn(x)\sum_{n=1}^\inftya_n(x)\cdotb_n(x)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收斂。

與數(shù)值級數(shù)的狄利克雷準則相同，只是將趨于零且有界改為一致趨于零且一致有界。

Note:rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;sin#x2061;nx,#x2211;n=1#x221E;cos#x2061;nx'角色='演示'n=1sinnx,n=1cosnx\sum_{n=1}^\infty\sinnx,\sum_{n=1}^\infty\cosnx零件和序列一致且有界，rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='|#x2211;k=1nsin#x2061;kx|#x2264;1|sin#x2061;x2|.'角色='演示'|k=1nsinkx|1|sinx2|.\left|\sum_{k=1}^n\sinkx\right|\le\frac{1}{|\sin\frac{x}{2}|}。

阿貝爾準則（單調(diào)一致有界且一致收斂）：

若函數(shù)項系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an(x)#x22C5;bn(x)'角色='演示'n=1an(x)bn(x)\sum_{n=1}^\inftya_n(x)\cdotb_n(x)滿足：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;X'角色='演示文稿'xX\forallx\in='演示文稿'{an(x)}\{a_n(x)\}到rame'tabindex='0'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='n'role='presentation'nn單調(diào)，且函數(shù)序列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='{an(x)}'角色='演示文稿'{an(x)}\{a_n(x)\}inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX均勻有界；系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：顏色：綠色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;bn(x)'角色='演示'n=1bn(x)\sum_{n=1}^\inftyb_n(x)內(nèi)存中'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收斂。然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x2211;n=1#x221E;an(x)#x22C5;bn(x)'角色='演示'n=1an(x)bn(x)\sum_{n=1}^\inftya_n(x)\cdotb_n(x)inram'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收斂。

無論是狄利克雷準則還是阿貝爾準則，在分解級數(shù)時，請注意您可以選擇一個數(shù)值級數(shù)作為分解的一部分。畢竟，判斷數(shù)值級數(shù)的有界性和收斂性顯然比泛函項級數(shù)容易得多，而且其有界性和收斂性可以直接轉(zhuǎn)移到泛函項級數(shù)上（看成常數(shù)函數(shù)，即Can）。

一致收斂級數(shù)的性質(zhì)

和功能的連續(xù)性：

如果一系列函數(shù)項在某個區(qū)間上一致收斂，并且其每一項在該區(qū)間上連續(xù)，則其和函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。

推理：

如果函數(shù)序列的每一項在區(qū)間上連續(xù)但與函數(shù)不連續(xù)，則級數(shù)在區(qū)間上不會一致收斂。

逐項計算產(chǎn)品：

如果級數(shù)函數(shù)項在區(qū)間上一致收斂且每項連續(xù)，則級數(shù)積分的求和符號與積分符號可以互換。

逐項求導數(shù)：

條件：對于一定區(qū)間，函數(shù)項級數(shù)逐點收斂，每項的導函數(shù)連續(xù)，且導數(shù)級數(shù)一致收斂。

結(jié)論：和函數(shù)可微，可以逐項求導，即和函數(shù)的導數(shù)等于每一項導數(shù)之和，且和函數(shù)的導數(shù)是連續(xù)的。

看起來這里均勻收斂級數(shù)的性質(zhì)很多，信息量很大，但本質(zhì)只是為了后面解釋冪級數(shù)做鋪墊，沒必要詳細研究原理。當然，僅僅粗略地考慮條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系是不夠的。不抽象。