等差數(shù)列二階公式(二階等差數(shù)列講解視頻)

初中常見的規(guī)律有符號(hào)規(guī)律、等差數(shù)列規(guī)律、二階等差數(shù)列規(guī)律、幾何數(shù)列規(guī)律、循環(huán)規(guī)律等。本文對等差數(shù)列規(guī)律和二階等差數(shù)列規(guī)律進(jìn)行研究。

1.算術(shù)序列

【定義】等差數(shù)列是從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列。如：1、4、7、10、13、后面的數(shù)字總是比前面的數(shù)字大3。這樣的數(shù)列是算術(shù)數(shù)列，其中3稱為容差。

【屬性】小生初應(yīng)該了解以下兩個(gè)屬性：

總和=（第一項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2；

項(xiàng)目數(shù)=（最后一項(xiàng)-第一項(xiàng)）容差+1；

【如何尋找規(guī)則】

由于等差數(shù)列的通式為An=a1+(n-1)d，其中an代表第n個(gè)數(shù)，a1代表第一個(gè)數(shù)，d代表容差。因此，從通式可以看出an是n的線性函數(shù)（d0）或常數(shù)函數(shù)（d=0），即算術(shù)數(shù)列具有kn+b的形式，其中K=容差，b=主導(dǎo)項(xiàng)-容差。

【例1】用菱形紙片拼出如圖所示的圖案。第一個(gè)圖案有5張菱形紙片；第二個(gè)圖案有9張菱形紙片；第三個(gè)圖案有13張菱形紙。根據(jù)這個(gè)規(guī)則，第n個(gè)圖案中菱形紙片的數(shù)量是_________

【分析】

步驟1：確定序列的類型。由于后一項(xiàng)總是比前一項(xiàng)大4，因此該序列是算術(shù)序列。

步驟2：計(jì)算k。因?yàn)槊看卧黾邮?，即公差是4，所以k=4

步驟3：計(jì)算b。因?yàn)榈谝豁?xiàng)-容差=5-4=1，所以b=1

第四步：寫出規(guī)則。第n個(gè)數(shù)是4n+1

【例2】觀察下面兩列數(shù)字：

7、10、13、16、19、22……

7、11、15、19、23、27……

(1)這兩列數(shù)字中的第100個(gè)數(shù)字是多少？

(2)這兩列數(shù)字中，第一個(gè)相同的數(shù)字是7，第二個(gè)相同的數(shù)字是19，第10個(gè)相同的數(shù)字是多少？

【分析（一）】

第一列中的數(shù)字是：k=tolerance=3，b=firstterm-tolerance=7-3=4，所以第n個(gè)數(shù)字是3n+4。當(dāng)n=100時(shí)，第100個(gè)數(shù)是304

:k列中的數(shù)字2=容差=4，b=第一項(xiàng)-容差=7-4=3，因此第n個(gè)數(shù)字是4n+3。當(dāng)n=100時(shí)，第100個(gè)數(shù)是403

【分析(2)】第一個(gè)相同的數(shù)是7，第二個(gè)相同的數(shù)是19，第三個(gè)相同的數(shù)是31。由于7、19、31組成等差數(shù)列，即第m個(gè)相同的數(shù)是12m-5。當(dāng)m=10時(shí)，第10個(gè)相同的數(shù)是115。

二、二階算術(shù)序列

【定義】二階等差數(shù)列是指后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)等差數(shù)列。例如：1,3,7,13,21,31,最后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是：2,4,6,8,10,這些差是一個(gè)算術(shù)序列，我們稱之為序列1,3,7,13,21,31,是二階算術(shù)序列。

【求規(guī)律的方法】二階算術(shù)數(shù)列的通項(xiàng)的一般形式為：An=an2+bn+c，與求二次函數(shù)解析表達(dá)式的方法類似。我們可以用待定系數(shù)法求其通項(xiàng)公式。

【例1】（難度系數(shù)）給定一組數(shù)字：1,3,7,13,21,31,根據(jù)規(guī)則找到第100個(gè)數(shù)字。

【分析】

第一步：設(shè)置。假設(shè)第n個(gè)數(shù)An=an2+bn+c

第二步：生成。將n=1、An=1、n=2、An=3、n=3、An=7分別代入An=an2+bn+c，可得：

第三步：詢問。：3a+b=2

：5a+b=4

-：2a=2，解為a=1，b=-1，c=1

第四步：寫。即第n個(gè)數(shù)為：n2-n+1，第100個(gè)數(shù)為9901

【例2】（難度系數(shù)）觀察下列方程，請寫出第n個(gè)方程。

第一個(gè)方程：32-1=81，

第二個(gè)方程：52-1=24=83，

第三個(gè)方程：72-1=48=86，

第四個(gè)方程：92-1=80=810，

……

【分析】

第一步：找到變量和不變量。觀察等式左邊的底在變化，等式右邊乘以8的數(shù)也在變化。

步驟2：左邊的底數(shù)是：3,5,7,9,這顯然是一個(gè)等差數(shù)列。它的容差為2，第一項(xiàng)減去容差等于1，所以第n個(gè)底為2n+1。

第三步：右邊的數(shù)字乘以8分別是1,3,6,10,……，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是2,4,6,……，可以判斷原數(shù)是二階的，以此類推。差序。按照例1中的待定系數(shù)法，可得到第n個(gè)數(shù)：

總結(jié)：

等差數(shù)列的規(guī)律具有線性函數(shù)的一般形式，二階等差數(shù)列具有二次函數(shù)的一般形式。任何這樣的序列的通式都可以使用待定系數(shù)法來計(jì)算。有了近乎“死算”的方法，相信同學(xué)們在面對的時(shí)候再也不用為拆數(shù)（猜數(shù)字）而煩惱了。

等差數(shù)列有確定的方法

待定系數(shù)可解

一階線性函數(shù)塊

關(guān)于二階二次函數(shù)