高中數(shù)學(xué)比較數(shù)的大小(高中比較數(shù)的大小)

比較數(shù)字的大小是高考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的題型之一。2022年高考卷一的比較數(shù)字問(wèn)題確實(shí)讓考生很困惑。相比之下，下面2022年全國(guó)科學(xué)A論文中的可選期末題也是比較題類(lèi)型，簡(jiǎn)單多了。

已知a=31/32,b=cos(1/4),c=4sin(1/4),則

A.cba；B.bac；C.abc；D.acb

老黃說(shuō)，我有一個(gè)計(jì)算器，按一下就可以了，a=31/32=0.，b=cos(1/4)0.，c=4sin(1/4)0.。如果你一眼就了解CBA，你應(yīng)該選A。然后就有人開(kāi)始對(duì)老黃說(shuō)，你（省略任何臟話(huà)），你高考能帶計(jì)算器嗎？然后老黃就回?fù)袅?，（老黃一般不罵人的），你不懂我在說(shuō)什么。

你說(shuō)，如果學(xué)數(shù)學(xué)都這樣的話(huà)，還有什么意義呢？如果你能學(xué)好這門(mén)數(shù)學(xué)那就太棒了。

分析：本題主要應(yīng)用正數(shù)與其正弦、正切的不等式關(guān)系，即0x/2時(shí)，sinxxtanx。如果50%的人記得這種不平等，那么只有不到1%的人知道發(fā)生了什么。完成。能自己證明的人就更少了，能想出與課本上不同的證明方法的人恐怕也屈指可數(shù)。你說(shuō)，如果上面的這些想法都用在這里該多好啊！

老黃的意思是，你不只是用它，你必須理解它并親自證明它。最好有自己不同的證明方法。因?yàn)槟阆麓胃呖嫉臅r(shí)候不太可能再遇到這個(gè)問(wèn)題。但是，您很可能仍然會(huì)使用這種不等式。

回到問(wèn)題本身。比較a和b的大小，只須將b轉(zhuǎn)化成b=cos(1/4)=1-2(sin(1/8))^2，根據(jù)sin(1/8)1/8，就有b1-1/32=31/32=a.因此就可以排除C、D.

而比較c和b的大小就更簡(jiǎn)單了，只要求它們的商c/b=4tan(1/4)，根據(jù)tan(1/4)1/4.就有c/b1，而它們都是正數(shù)，所以cba，選A.

教科書(shū)證明sinx=x=tanx，(0=x/2)，在單位圓內(nèi)進(jìn)行。老黃的《老黃學(xué)高等數(shù)學(xué)》系列視頻中也有介紹。也可以通過(guò)求它們的差（與0比較）或比值（與1比較）來(lái)證明。這些在老黃之前的作品中已經(jīng)介紹過(guò)，這里不再贅述。事實(shí)上，只要對(duì)它們進(jìn)行成像，您就可以清楚地看到它們。

是不是有一種類(lèi)似“用計(jì)算器就可以得出結(jié)果”的感覺(jué)？那仍然是一種復(fù)雜的思維，但這當(dāng)然不同，因?yàn)槔L制函數(shù)圖像也是一種數(shù)學(xué)能力。此外，我們可以從圖像中發(fā)現(xiàn)更多東西。

不難發(fā)現(xiàn)，直線(xiàn)y=x在原點(diǎn)處與sinx和tanx都相交。關(guān)鍵是sinx左邊是凹的，下面是凸的。從函數(shù)的凹凸性質(zhì)可以推導(dǎo)出，當(dāng)sinx為0x時(shí)，sinx小于x。加上sinx的周期性和y=x的單調(diào)遞增，當(dāng)x0時(shí)可以推廣到sinxx。同理，tanxx也可以證明。一個(gè)區(qū)別是tanx的周期性使得該不等式僅在(0,/2)處始終成立。

所以，并不是方法不對(duì)，而是要看你是否善于發(fā)現(xiàn)。