e的十大表達(dá)式是什么(e的十大表達(dá)式怎么寫)

原版林根數(shù)學(xué)林根數(shù)學(xué)2022-03-1511:24

e作為一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)。它有時(shí)被稱為歐拉常數(shù)，以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉的名字命名；事實(shí)上，常數(shù)e第一次被發(fā)現(xiàn)是由JohnNapier在1618年2001年出版的一本關(guān)于對(duì)數(shù)的書的附錄中的一個(gè)表格。是的，這個(gè)Napier就是發(fā)明對(duì)數(shù)的人，但他并沒有記錄這個(gè)常數(shù)，只有一個(gè)基于它計(jì)算的對(duì)數(shù)表。有趣的是，在歷史上，對(duì)數(shù)是先出現(xiàn)的，對(duì)數(shù)和指數(shù)之間的關(guān)系是后來發(fā)現(xiàn)的，這與現(xiàn)在教科書上的順序正好相反。事實(shí)上，直到1770年，歐拉才第一個(gè)指出“對(duì)數(shù)是由指數(shù)推導(dǎo)出來的”。此時(shí)，對(duì)數(shù)和指數(shù)的發(fā)明已經(jīng)有一百多年了。

第一個(gè)將e視為常數(shù)的人是雅各布·伯努利(JacobBernoulli)，但沒有證據(jù)。已知第一個(gè)使用e的人是戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)。萊布尼茨(Leibniz)在1690年和1691年的通信中提到過，但使用e來表示常數(shù)是由歐拉(Euler)在1727年開始的。

那么，歐拉是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)自然常數(shù)e的呢？當(dāng)時(shí)，歐拉試圖解決半個(gè)世紀(jì)前另一位數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出的一個(gè)問題：假設(shè)你把1元錢存入銀行，銀行提供的年利率是100%，也就是說，經(jīng)過1年，連利息2元。那么現(xiàn)在假設(shè)每六個(gè)月計(jì)算一次利息，半年利率為50%或0.5。本方案每年計(jì)息一次，本金和利息合計(jì)為1+10.5=1.5元。那么下半年本金和利息按照(1+0.5)2=2.25元計(jì)算，即一年2.25元。那么如果當(dāng)前的利率計(jì)算周期更短的話會(huì)發(fā)生什么呢？假設(shè)每月結(jié)算一次，月利率為1/12，本息計(jì)算為(1+1/12)12，最終結(jié)果約為2.61304元?？磥砝⑵谙拊蕉?，回報(bào)就越好。然而，雅各布·伯努利發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，這種連續(xù)復(fù)利存在一個(gè)極限值。

這個(gè)極限是由歐拉50年后計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后18位：

e=2.71828182845904523。當(dāng)時(shí)歐拉的計(jì)算已經(jīng)是當(dāng)代極限，但現(xiàn)代計(jì)算機(jī)可以毫無困難地得到e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772。40766303535475945713821785251664274……。

這可以在任何微積分教程中得到證明。使用的單調(diào)有界序列必須有極限。

它還有另一種極端形式：

事實(shí)上，在數(shù)的發(fā)展史上，幾何發(fā)現(xiàn)往往是第一推動(dòng)力，比如、2等的發(fā)現(xiàn)。

雖然e的發(fā)現(xiàn)并不是從幾何開始的，但它也可以有以下幾何解釋：

設(shè)n個(gè)相同的矩形ABCD組成的矩形為ABEF，設(shè)AB=x，BE=y，則x2=n，y2=n(n+1)，(y/n)2=1+1/n，

說到變化，很難證明e的非理性和超越性。直到1873年，法國數(shù)學(xué)家查爾斯·埃爾米特才證明了e的超越性。但到目前為止，ee的超越性還不清楚。這些都是數(shù)論的范疇，相對(duì)較難。

其實(shí)e在數(shù)論中有著神奇的存在，尤其是在素?cái)?shù)分布中：

所有大于2n形式的偶數(shù)都具有以e為中心的共軛奇數(shù)組。每組之和為2n，且至少有一組是共軛素?cái)?shù)?？梢哉f是素?cái)?shù)的中軸，但也只是奇數(shù)的中軸。

自然常數(shù)也與素?cái)?shù)的分布有關(guān)。存在某個(gè)自然數(shù)a，那么大約有一個(gè)比它小的素?cái)?shù)。當(dāng)a較小時(shí)，結(jié)果不太正確。但隨著a的增加，這個(gè)定理會(huì)變得越來越準(zhǔn)確。這個(gè)定理稱為素?cái)?shù)定理，是由高斯發(fā)現(xiàn)的。

e在現(xiàn)代幾何中有一種奇怪的行為。首先，我們看一下完整圖：中e的行為

在圖論的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，完全圖是一種簡單的無向圖，其中每對(duì)不同的頂點(diǎn)恰好由一條邊連接。完整的有向圖又是一個(gè)有向圖，其中每對(duì)不同的頂點(diǎn)都由一對(duì)唯一的邊（每個(gè)方向各一條）連接。具有n個(gè)端點(diǎn)的完全圖有n個(gè)端點(diǎn)和n(n1)/2條邊，用Kn表示。它是一個(gè)(k-1)-正則圖。每個(gè)完整的圖都是它自己的一個(gè)派系。

圖論本身始于萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)1736年關(guān)于柯尼斯堡七橋的研究。然而，完整圖的繪制（其頂點(diǎn)位于正多邊形的點(diǎn)處）早在13世紀(jì)就已出現(xiàn)。此類畫有時(shí)被稱為神秘玫瑰。

假設(shè)完整圖中的路徑總數(shù)為W，哈密頓道路總數(shù)為h，則

W/h=e.

這個(gè)定律進(jìn)一步證明了e不是有意構(gòu)造的，e甚至可以稱為完全率。與pi有一定的相似性?？磥順O限完全圖就是圖論中的圓，哈密頓路就是直徑。自然常數(shù)的含義是極限完全圖中路徑總數(shù)與哈密頓道路總數(shù)的比值。

我們來看看e在凸體：中的表現(xiàn)

自Bartos于1968年提出頂角概念以來，姜星耀于1987年證明了任意n維單純形n的任意n+1個(gè)頂角均成立不等式

由此可見

至于e的級(jí)數(shù)表達(dá)式，常見的是：

這個(gè)證明可以在任何高等數(shù)學(xué)書中找到，它是泰勒公式的一個(gè)特例。

至于e與復(fù)數(shù)的聯(lián)系，下面這個(gè)公式非常有名，受到陶哲軒、張益堂的推崇。

這個(gè)方程的神奇之處在于，它連接了高等數(shù)學(xué)中常用的三個(gè)著名數(shù)字e、i和。虛數(shù)與實(shí)數(shù)交替，實(shí)虛運(yùn)算最終回歸現(xiàn)實(shí)，符合哲學(xué)和推測。

類似的例子還有一些可以舉，也是相當(dāng)有趣的表達(dá)方式。

1719年，意大利數(shù)學(xué)家法尼亞諾獲得

1997年，中國建筑師李明波榮獲

該公式下面的一些等效形式看起來更好。

不太常見的是Ramanujan（中文：SrinivasaRamanujan=泰米爾語：=英語：SrinivasaRamanujan），

這是連分?jǐn)?shù)的表達(dá)式。1913年，拉馬努金給英國著名數(shù)學(xué)家哈代寄了一封長達(dá)9頁的信，其中包括拉馬努金自己發(fā)現(xiàn)的120個(gè)公式。上式就是其中之一。這些公式?jīng)]有證明過程。據(jù)說，大部分都是拉馬努金通過心算得出的。然而，拉馬努金的短暫一生卻令人惋惜。關(guān)于拉馬努金的故事可以參考電影《知無涯者》。

視頻詳細(xì)介紹了他給出了整數(shù)n的分割函數(shù)P(n)的估計(jì)公式，并證明了P(n)的漸近公式。這個(gè)公式從發(fā)現(xiàn)、證明到被數(shù)學(xué)家認(rèn)可，經(jīng)歷了漫長的痛苦時(shí)期。他的工作對(duì)后來的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了很大的影響。

拉馬努金過去靠直覺推導(dǎo)公式，不喜歡證明，但事后證明他是對(duì)的。他留下的未經(jīng)證實(shí)的公式引發(fā)了后來的大量研究。

電影里還有一個(gè)很有趣的部分，就是1729年的故事，他和哈代乘坐過一次1729年的出租車。他告訴哈代，這是一個(gè)有趣的數(shù)字，因?yàn)?729可以表示為兩個(gè)立方之和，并且有兩種表達(dá)方式。其中，1729是最小的。（即1729=13+123=93+103。后來這種數(shù)字被稱為出租車號(hào)碼。）在電影的最后（拉馬努金去世后），當(dāng)哈代和他的朋友們乘坐出租車時(shí)，他把剛上車的朋友從出租車?yán)锉Я顺鰜?。我下了出租車，坐了下一輛，車牌是1729。

最后，e在概率論中也有神奇的應(yīng)用，比如維基百科中提到的“Derangements”問題：

將n頂帽子隨機(jī)放入n個(gè)位置。假設(shè)每頂帽子都有預(yù)設(shè)的正確位置，那么所有帽子都處于錯(cuò)誤位置的概率是多少？我認(rèn)為這個(gè)和有n個(gè)整數(shù)，假設(shè)1,2,3,n。從小到大是自然正確的順序。那么如果將這n個(gè)數(shù)字隨機(jī)排列的話，每個(gè)數(shù)字都會(huì)走到“其他人”的位置的概率是多少呢？

可以有如下解法：首先，有n！n個(gè)數(shù)的多種排列，且全部正確，概率為1/n!

消除所有錯(cuò)誤后的排列數(shù)為：

那么有

顯然有

這表明當(dāng)n取不同的奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，該概率圍繞1/e來回波動(dòng)。

謝謝閱讀！

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林根數(shù)學(xué)專注于初高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)。已在全國舉辦數(shù)百場清北自主招生講座，讓大量學(xué)生獲得清北自主招生加分，幫助他們實(shí)現(xiàn)清華北大夢。

2019年輔導(dǎo)多名學(xué)生獲得全國高中聯(lián)賽一等獎(jiǎng)。

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《林根數(shù)學(xué)》材料（注意：以下材料為課堂使用，不單獨(dú)提供）

1、《高考數(shù)學(xué)全觀》（上、下）（高考第一輪）教案和學(xué)習(xí)計(jì)劃

2、《高考數(shù)學(xué)重觀》（高考第二輪）教案和學(xué)習(xí)計(jì)劃

3.《清北數(shù)學(xué)高觀》教案及學(xué)案

4.《中考數(shù)學(xué)微觀》教學(xué)計(jì)劃和學(xué)習(xí)計(jì)劃

5、人民教育出版社必修課1-5全套教案和學(xué)習(xí)計(jì)劃