長(zhǎng)安出版?zhèn)髅接邢薰?cacbcc)

雖然受訪者在輔導(dǎo)小學(xué)生數(shù)學(xué)時(shí)不會(huì)提及集合論、群論等大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，但他會(huì)有意利用這些大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來探索數(shù)學(xué)原理的實(shí)際意義，從而想辦法讓孩子們建立知識(shí)和現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，然后建立解決問題的總體思路。

除法加減法的分配律只適用于被除數(shù)是和與差的情況，這與分?jǐn)?shù)的群論定義有關(guān)。從現(xiàn)實(shí)模型來看，以問題中的公式為例，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='72#x00F7;4+72#x00F7;6'角色='演示文稿'724+\div4+72\div6

其含義是：

首先放置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='72'role='presentation'7272個(gè)球在四個(gè)上均勻標(biāo)記其中一個(gè)袋子中的球。然后把這些小球拿出來，均勻地放進(jìn)六個(gè)袋子里。要求其中一個(gè)袋子里的小球沒有標(biāo)記。然后再次在這個(gè)袋子里的小球上做標(biāo)記。最后取出小球，做有多少個(gè)標(biāo)記的球？在除法中，運(yùn)算的第一項(xiàng)稱為被除數(shù)，運(yùn)算的第二項(xiàng)稱為除數(shù)。這是因?yàn)椋上⒋硪骄峙涞慕痤~，而除數(shù)則代表“平均分配”的金額。因此，除法的除數(shù)加減不滿足分配律。

小學(xué)數(shù)學(xué)中，一般只強(qiáng)調(diào)四種算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算順序。

就是先乘除再加減（乘除可以導(dǎo)致新的數(shù)量和新的單位出現(xiàn)，加減運(yùn)算必須是相同的數(shù)量和相同的單位），所有簡(jiǎn)單的運(yùn)算都必須是按照“同級(jí)運(yùn)算從左到右進(jìn)行，不同級(jí)運(yùn)算先乘除，后加減”的規(guī)則，從左到右進(jìn)行，只有計(jì)算結(jié)果為一致，顯然

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='72#x00F7;4+72#x00F7;6=18+12=30#x2260;7.2'角色='演示文稿'724+726=18+12=307.272\div4+72\div6=18+12=30\neq7.2在接觸了集合論和群論之后，我也重新思考了這個(gè)問題，現(xiàn)在終于找到了答案。

首先，自然數(shù)之所以被稱為自然數(shù)，是因?yàn)樗鼈兇_實(shí)是“自然”的——，它直接來自于計(jì)數(shù)對(duì)象。以下答案證明“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='1+1=2'role='presentation'1+1=21+1=2”，給出了自然數(shù)的定義。

為什么1+1等于2？41條贊·2條評(píng)論回答我認(rèn)為自然數(shù)的加法可以這樣定義：

設(shè)置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a=卡(A),b=卡(B),A#x2229;B=#x2205;'角色='演示'a=card(A),b=card(B),AB=a=\text{card}(A),b=\text{card}(B),A\capB=\emptyset，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a+b=card(A#x222A;B)'role='presentation'a+b=card(AB)a+b=\text{card}(A\cupB)也就是說，兩個(gè)不相交集合的元素?cái)?shù)量之和等于這兩個(gè)不相交集合的并集的元素?cái)?shù)量。我認(rèn)為自然數(shù)的乘法可以這樣定義：

設(shè)置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a=card(A),b=card(B)'角色='演示'a=card(A),b=card(B)a=\text{card}(A),b=\text{card}(B)，則rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a#x00D7;b=card(A#x00D7;B)'角色='演示'ab=card(AB)a\timesb=\text{card}(A\timesB)即，兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)的乘積等于兩個(gè)集合的直接乘積的元素個(gè)數(shù)。利用集合元素的確定性、相互性和無序性，可以證明自然數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，自然數(shù)的乘法滿足交換律和結(jié)合律，自然數(shù)的乘法和加法滿足交換律和結(jié)合律。自然數(shù)滿足分配律。

半群的定義是如果操作系統(tǒng)（書上常稱為代數(shù)系統(tǒng)）rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x27EE;S，f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup滿足結(jié)合律，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;a,b,c#x2208;S|f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))'角色='演示'a,b,cS|f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))\對(duì)于所有a,b,c\inS|f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))，則rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup稱為半群。

因此可以得出rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;N,+#x27EF;'角色='演示文稿'N,+\lgroup\mathbb{N},+\rgroup和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'角色='演示'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup

都是半群。還因?yàn)?/p>

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;N|0+x=x+0=x'角色='演示'xN|0+x=x+0=x\forallx\in\mathbb{N}|0+x=x+0=xram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;N|0#x00D7;x=x#x00D7;0=0'角色='演示'xN|0x=x0=0\forallx\in\mathbb{N}|0\timesx=x\times0=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;N|1#x00D7;x=x#x00D7;1=x'角色='演示'xN|1x=x1=x\forallx\in\mathbb{N}|1\timesx=x\times1=x所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;N,+#x27EF;'role='presentation'N,+\lgroup\mathbb{N},+\rgroup是元素為rame'的幺半群'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='0'角色='演示'00，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'角色='演示'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup是隨機(jī)的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='0'role='presentation'00，統(tǒng)一為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='1'role='presentation'11的幺半群。組的定義是，如果計(jì)算系統(tǒng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup滿足結(jié)合律，且存在酉，而設(shè)定的rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='S'role='presentation'SS中的每個(gè)元素都存在關(guān)于操作rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f'role='presentation'ff的逆元素，則操作系統(tǒng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS，f\rgroup稱為群。如果運(yùn)行rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f'role='presentation'ff滿足交換律，則群'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup稱為阿貝爾群。

首先是半群的定義，然后是群的定義。我們來看看半群中的“半”字是什么意思。對(duì)于自然數(shù)的加法，半群僅限于數(shù)軸非負(fù)半軸上的所有整數(shù)（即具有整數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)），而整數(shù)的加法群擴(kuò)展到整個(gè)數(shù)上的所有整數(shù)軸。黑體字說明了《半群》中“半”字的由來。

自然數(shù)及其加法和乘法不形成群，因?yàn)椴⒎亲匀粩?shù)集合中的所有元素都有自己的加法和乘法逆元素。因此，我們需要將自然數(shù)的加法半群和自然數(shù)的乘法半群擴(kuò)展到群。通過將半群擴(kuò)展到群，我們得到了有理數(shù)的公理定義。如果我們將一系列收斂有理數(shù)常數(shù)項(xiàng)放入其中，我們就得到了實(shí)數(shù)。

我們想要'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;N,+#x27EF;'role='演示'N,+\lgroup\mathbb{N},+\rgroup和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'role='presentation'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup都展開稱為阿貝爾群，但有一點(diǎn)需要注意：半群rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'role='presentation'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup不能直接擴(kuò)展稱為阿貝爾群，因?yàn)樵O(shè)置的rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='N'role='presentation'N\mathbb{N}多個(gè)元素，零個(gè)元素'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='0'role='presentation'00不能有乘法的逆運(yùn)算。查看具體信息

為什么分母（除數(shù)）不能為0？214同意·14條評(píng)論如果0可以用作除數(shù)，會(huì)給數(shù)學(xué)帶來什么變化？12同意·5條評(píng)論回答擴(kuò)容的具體過程這里不討論。這里只給出兩個(gè)展開群，即有理數(shù)加法群rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x27EE;Q,+#x27EF;'role='presentation'Q,+\lgroup\mathbb{Q},+\rgroup與非零有理數(shù)組的乘法'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x27EE;Q#x2216;{0},#x00D7;#x27EF;'角色='演示'Q{0},\lgroup\mathbb{Q}\setminus\{0\},\times\rgroup.非零有理數(shù)的乘法群rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x27EE;Q#x2216;{0}，#x00D7;#x27EF;'role='presentation'Q{0},\lgroup\mathbb{Q}\setminus\{0\},\times\r群的展開使得歸約有了群論

依據(jù)。我們將有理數(shù)的加法逆元稱為有理數(shù)的逆元，將有理數(shù)的乘法逆元稱為倒數(shù)。然后定義了一個(gè)數(shù)的相反數(shù)相加是該數(shù)的減法，一個(gè)數(shù)的倒數(shù)相乘是該數(shù)的除法。這樣就有了減法和除法。

然后我們需要將加法和乘法運(yùn)算關(guān)聯(lián)起來，于是就有了環(huán)和域。我們來談?wù)勵(lì)I(lǐng)域。該域的定義是，如果操作系統(tǒng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x27EE;S,f,g#x27EF;'role='presentation'S,f,g\lgroupS,f,g\rgroup滿足

1)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS，f\rgroup是阿貝爾群，其酉單位記為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'data-mathml='o'角色='presentation'oo.

2)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x27EE;S#x2216;{o},g#x27EF;'role='presentation'S{o},g\lgroupS\setminus\{o\},g\rgroup是阿貝爾群。

3）操作ram'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='g'role='presentation'gg操作rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f'role='presentation'ff可賦值，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;a,b,c#x2208;S|f(g(a,c),g(b,c))=f(g(a,

b),c)"role="presentation">?a,b,c∈S|f(g(a,c),g(b,c))=f(g(a,b),c)\foralla,b,c\inS|f(g(a,c),g(b,c))=f(g(a,b),c)則運(yùn)算系統(tǒng)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="?S,f,g?"role="presentation">?S,f,g?\lgroupS,f,g\rgroup稱作域。現(xiàn)在我們需要構(gòu)建一個(gè)有理數(shù)的加法乘法域，那就需要對(duì)所有的有理數(shù)都必須滿足乘法對(duì)加法的分配律。域解決了分?jǐn)?shù)的加減法的問題。

根據(jù)分配律計(jì)算兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和差：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="y1x1+y2x2"role="presentation">y1x1+y2x2\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}必須保證rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="?a∈Q|(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a"role="presentation">?a∈Q|(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a\foralla\in\mathbb{Q}\left|\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)a=\frac{y_1}{x_1}\timesa+\frac{y_2}{x_2}\timesa\right.

（分配律公理）．

因而選取一個(gè)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a∈N"role="presentation">a∈Na\in\mathbb{N}，使得rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a"role="presentation">(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)a=\frac{y_1}{x_1}\timesa+\frac{y_2}{x_2}\timesa，這里取rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a=lcm(x1,x2)"role="presentation">a=lcm(x1,x2)a=\text{lcm}(x_1,x_2)，并令rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a=l1x1=l2x2"role="presentation">a=l1x1=l2x2a=l_1x_1=l_2x_2，則

rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a=l1y1+l2y2"role="presentation">(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a=l1y1+l2y2\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)a=\frac{y_1}{x_1}\timesa+\frac{y_2}{x_2}\timesa=l_1y_1+l_2y_2所以rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="y1x1+y2x2=(l1y1+l2y2)×1a=l1y1+l2y2lcm(x1,x2)"role="presentation">y1x1+y2x2=(l1y1+l2y2)×1a=l1y1+l2y2lcm(x1,x2)\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=(l_1y_1+l_2y_2)\times\frac{1}{a}=\frac{l_1y_1+l_2y_2}{\text{lcm}(x_1,x_2)}，這就是分?jǐn)?shù)的加減法為什么要先通分的原因。那么rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724+726"role="presentation">724+726\frac{72}{4}+\frac{72}{6}能否等于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724+6"role="presentation">724+6\frac{72}{4+6}呢？由于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="72"role="presentation">7272是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="4"role="presentation">44和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="6"role="presentation">66的公倍數(shù)，所以我們很快能夠算出rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724=18,726=12"role="presentation">724=18,726=12\frac{72}{4}=18,\frac{72}{6}=12，而rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724+6=7.2"role="presentation">724+6=7.2\frac{72}{4+6}=7.2，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="18+12=30≠7.2"role="presentation">18+12=30≠7.218+12=30\neq7.2，因而若rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="14+16=110"role="presentation">14+16=110\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{1}{10}將使得分配律失效，因而分?jǐn)?shù)的加減法必須是先通分，然后分子相加。

吐槽一下小學(xué)數(shù)學(xué)課本的內(nèi)容順序安排。講完分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)后，不應(yīng)該先講分?jǐn)?shù)的加減法，而是就著學(xué)生們學(xué)習(xí)完約分之后的“熱情”馬上教給學(xué)生們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的乘除法。教分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)先教乘除后教加減。