三角形的再認(rèn)識(shí)評(píng)課(三角形的再認(rèn)識(shí)蘇明強(qiáng))

重新認(rèn)識(shí)三角形

寫(xiě)在開(kāi)頭

本系列更新分為兩部分：第一部分介紹中學(xué)學(xué)習(xí)三角形的過(guò)程，第二部分總結(jié)高中正弦余弦定理中的最大值和極差問(wèn)題。

三角學(xué)習(xí)體驗(yàn)過(guò)程

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整體總結(jié)

三角形是平面內(nèi)由三條線段組成的閉合圖形，共有6個(gè)元素：三條邊和三個(gè)角?？梢悦鞔_地說(shuō)，三角形是所有平面圖形中最簡(jiǎn)單的圖形，但也是研究過(guò)程中最復(fù)雜的圖形。簡(jiǎn)單的原因是三角形的元素?cái)?shù)量是所有平面圖形中最少的，復(fù)雜的則在于基本上所有的圖形都可以分為多個(gè)三角形，三角形是所有平面幾何圖形的基礎(chǔ)。其他幾何圖形的學(xué)習(xí)都可以以三角形為基礎(chǔ)。因此，學(xué)習(xí)三角形，尤其是三角形的元素就顯得尤為重要。那么縱觀三角形的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，我們?nèi)绾渭由顚?duì)三角形的理解呢？

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小學(xué)時(shí)期

小學(xué)時(shí)，我們第一次接觸三角形等簡(jiǎn)單的圖形。我們分別注重從側(cè)面和角度進(jìn)行學(xué)習(xí)。從邊長(zhǎng)來(lái)看，我們主要通過(guò)邊相等來(lái)定義等腰三角形和等邊三角形。這兩種特殊形狀的三角形；從角度的角度來(lái)看，可以理解，內(nèi)角之和總是180度，并且根據(jù)角度，定義了三種不同形狀的三角形。

可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)學(xué)習(xí)三角形的時(shí)候，基本上都是把角和邊的聯(lián)系分開(kāi)，分別學(xué)習(xí)。他們不會(huì)將邊和角放在一起并通過(guò)兩者之間的連接來(lái)學(xué)習(xí)三角形。這種對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)知識(shí)很簡(jiǎn)單，但也是必要的，因?yàn)樗夏壳靶W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平。

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初中時(shí)期

初中階段可以算是我們學(xué)習(xí)三角形的一個(gè)重要過(guò)渡階段。當(dāng)我們第一次學(xué)習(xí)“等邊角”時(shí)，我們終于可以從邊和角的關(guān)系來(lái)學(xué)習(xí)三角形了。雖然很簡(jiǎn)單，但確實(shí)更有意義。然后我們研究了畢達(dá)哥拉斯定理，它揭示了直角和邊之間的關(guān)系。特別地，對(duì)于包含30度的直角三角形，存在兩倍邊長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但這還不是最深刻的，因?yàn)樗腥毕?，只能得到直角和邊之間的聯(lián)系。

后來(lái)，我學(xué)會(huì)了一致性和相似性。全等的意義在于教會(huì)我們是否可以通過(guò)幾個(gè)已知的三角形元素來(lái)確定三角形的形狀和大小。這對(duì)于高中學(xué)習(xí)三角形和解決問(wèn)題很有幫助；相似性從邊和角之間的聯(lián)系出發(fā)，揭示多個(gè)三角形之間邊或角之間的聯(lián)系。

初中時(shí)，三角形的學(xué)習(xí)以銳角三角形函數(shù)結(jié)束。銳角三角形函數(shù)從邊和角之間的聯(lián)系出發(fā)，揭示角和邊的比例之間的聯(lián)系，加深我們對(duì)三角形學(xué)習(xí)的理解。在直角三角形中，您可以通過(guò)邊長(zhǎng)找到角度，或者使用角度找到邊長(zhǎng)。但事情還沒(méi)有結(jié)束。銳角三角函數(shù)有一定的缺陷。它將邊和角之間的聯(lián)系限制為直角三角形，這極大地阻礙了我們對(duì)整個(gè)三角形家族的學(xué)習(xí)。

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中學(xué)

在高中時(shí)，在真正學(xué)習(xí)三角形之前，我學(xué)習(xí)了很多關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)。聰明的朋友們，你們有沒(méi)有想過(guò)這是為什么呢？我們知道，三角形的連接不僅是邊和角之間的連接，而且是邊或角之間的連接。如果讓你從邊或角研究三角形，你會(huì)更喜歡邊還是角？

從整個(gè)關(guān)系來(lái)看，角的內(nèi)部聯(lián)系比邊的內(nèi)部聯(lián)系要稍微簡(jiǎn)單一些。初中時(shí)，優(yōu)先考慮從邊的內(nèi)部聯(lián)系來(lái)解三角形。但從大的角度來(lái)看，角度比側(cè)面更靈活，更容易處理。建議大家在解題時(shí)優(yōu)先考慮角度作為研究對(duì)象，但需要注意這一點(diǎn)。對(duì)角的研究必須以角與邊的關(guān)系為基礎(chǔ)。如果研究角度，最好的工具就是三角函數(shù)，所以學(xué)習(xí)三角函數(shù)是必要的、必要的，這將有助于將直角三角形擴(kuò)展到一般三角形。

正弦和余弦定理最深刻地揭示了一般三角形中邊和角之間的聯(lián)系，真正實(shí)現(xiàn)了邊和角的統(tǒng)一。其中，正弦定理可以實(shí)現(xiàn)齊次公式中三角形邊和角的互換，余弦定理揭示了已知角度下的三角關(guān)系，以及確定未知角度的大小或范圍的三邊關(guān)系。兩者在解決問(wèn)題的過(guò)程中都有各自的側(cè)重點(diǎn)。正弦定理側(cè)重于邊和角之間的聯(lián)系，用角代替邊，然后研究角之間的內(nèi)部聯(lián)系，而余弦定理側(cè)重于邊和角之間的聯(lián)系。將角度轉(zhuǎn)換為邊，然后研究邊之間的內(nèi)部聯(lián)系。

注：以上內(nèi)容主要從宏觀上介紹三角形的學(xué)習(xí)過(guò)程，并沒(méi)有詳細(xì)介紹邊和角之間的關(guān)系。它們都是個(gè)人想法。

寫(xiě)在最后

不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)三角形時(shí)，最重要的是從三角形的邊和角的關(guān)系來(lái)理解三角形。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程就是對(duì)邊角關(guān)系理解的不斷加深。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，聯(lián)系是普遍存在的。這種聯(lián)系可以出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的不同分支中，也可以出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的單個(gè)分支中。我們一直很難割斷這種聯(lián)系來(lái)研究數(shù)學(xué)。這種普遍聯(lián)系已深深植根于數(shù)學(xué)這棵大樹(shù)的根部，成為亙古不變的鐵律。只有從聯(lián)系的角度出發(fā)，我們才能在數(shù)學(xué)的漫漫道路上看得更深、走得更遠(yuǎn)。遠(yuǎn)的。