求線段比值常用策略(求線段比值的題目)
八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何題中，求線段的比例一直是個(gè)難題。尤其是當(dāng)題目條件中沒有給出線段長(zhǎng)度時(shí)，很多同學(xué)都感到無頭緒。這時(shí)候就需要引入一個(gè)可以表達(dá)線段長(zhǎng)度的量，即Set參數(shù)。
設(shè)置參數(shù)也是初中數(shù)學(xué)中常用的方法。它可以廣泛用于求線段比、角度比、面積比等，因?yàn)樵谇蟊鹊倪^程中，通常會(huì)消除參數(shù)。使用參數(shù)時(shí)一定要記住“過橋”，即消滅參。
話題
菱形ABCD中，ABC=60，P為對(duì)角線BD上的點(diǎn)，E為邊BC上的點(diǎn)，PE=PA。
(1)如圖1所示，求APE的次數(shù)；
(2)如圖2所示，BE的垂直平分線與BD相交于F點(diǎn)，與BE相交于G點(diǎn)。求出PF:AB的值；
(3)如圖3所示，PE與CD交于M點(diǎn)。當(dāng)CME=45時(shí)，求BC:CE的值。
分析：
（1）角為60的菱形實(shí)際上可以看作是由兩個(gè)等邊三角形組成的兩個(gè)等邊三角形。它是一種特殊的菱形，菱形是軸對(duì)稱圖形。BD是其對(duì)稱軸。好好利用這個(gè)財(cái)產(chǎn)。這樣可以大大簡(jiǎn)化證明過程。
P點(diǎn)在BD上，所以連接PC。根據(jù)對(duì)稱性，PA=PC，根據(jù)題目條件中的PE=PA，可得PC=PE，如下所示：
我們要求的APE在四邊形ABEP內(nèi)，所以APE=360-BAP-ABC-E=300-BAP-E，根據(jù)對(duì)稱性，BAP=BCP=180-PCE=180-E，代入上式，可得APE=300-(180-E)-E=120；
(2)我們知道菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，因此BD平分ABC，從而得到特殊的PBC=30。結(jié)合圖中的垂直平分線，我們可以構(gòu)造一個(gè)角為30的直角三角形，同時(shí)在上題中我們證明了等腰PCE。我們不妨通過點(diǎn)P構(gòu)造PHBE，然后構(gòu)造一個(gè)特殊的直角三角形，如下圖：
由于該題沒有給出任何邊長(zhǎng)條件，為了求出比值，我們需要設(shè)置參數(shù)來表示線段AB和PF。我們應(yīng)該設(shè)置哪一個(gè)呢？
菱形的邊長(zhǎng)起著極其重要的作用。首先，我們可以將菱形的邊長(zhǎng)設(shè)置為PF。
BFG中，BF=2y，BG=3y，G點(diǎn)是BE的中點(diǎn)，所以BE=2BG=23y，所以CE=BE-BC=23y-x，等腰在PCE之前已經(jīng)證明，根據(jù)三條線的組合，可以求出CH=3y-x/2，那么在第二個(gè)特殊直角三角形BPH中，BH=BC+CH=x+3y-x/2=3y+x/2.所以PH=y+3x/6，BP=2y+3x/3，所以PF=BP-BF=3x/3。此時(shí)我們可以計(jì)算比率，結(jié)果為3/3；
（3）這題增加了一個(gè)特殊的角度45，那么此時(shí)的比例會(huì)發(fā)生什么變化呢？我們?nèi)匀谎永m(xù)上題的參數(shù)設(shè)置，在N點(diǎn)連接AC和BD，如下圖：
我們先計(jì)算一下相關(guān)的角度。在MEC中，CME=45，MCE=60，所以得到E=75，這樣就可以得到兩個(gè)等腰三角形，即BPE和PCE，然后計(jì)算CPE=30，所以我們得到APC=90。根據(jù)對(duì)稱性，我們得到BPC=45。現(xiàn)在我們可以利用特殊直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系。
仍然假設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則CN=x/2=PN，BN=3x/2，BP=BN+PN=3x/2+x/2，所以BE=BP=3x/2+x/2，所以CE=BE-BC=3x/2-x/2，即可求出比值，化簡(jiǎn)后得到3+1。
反思解決問題
在使用參數(shù)之前你是如何看待使用參數(shù)的？問題條件是沒有線段長(zhǎng)度，但比例為1。特殊的邊長(zhǎng)之間存在著關(guān)系，比如等腰直角三角形、角為30的直角三角形等，并且存在著全等、對(duì)稱等等價(jià)關(guān)系。三、除了這道題，很多其他問題也適合參數(shù)法，比如解決應(yīng)用問題和函數(shù)問題。參數(shù)的意義在于輔助或簡(jiǎn)化，最終會(huì)被淘汰。如果推導(dǎo)結(jié)束后參數(shù)還在，那肯定說明過程有問題。
其實(shí)參數(shù)沒必要想得那么神秘。當(dāng)我們學(xué)習(xí)角度表示時(shí)，我們標(biāo)記1、2等，這些都是參數(shù)。同樣，在解決問題的過程中，太多的線段名稱也不方便找到數(shù)量關(guān)系。假設(shè)用x、y等字母來表示，最終的作用就是簡(jiǎn)化流程。