你能分清復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式中內(nèi)外函數(shù)上兩個(gè)函數(shù)嗎(你能分清復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式中內(nèi)外函數(shù)上兩個(gè)點(diǎn)嗎)

學(xué)微積分的同學(xué)都知道，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的時(shí)候有兩個(gè)符號(hào)，一個(gè)是y，一個(gè)是dy/dx。很多學(xué)生不明白為什么需要兩個(gè)符號(hào)。顯然y更簡(jiǎn)單，更容易編寫(xiě)和記憶。我們看到書(shū)中所有的導(dǎo)數(shù)公式都用“yi”來(lái)標(biāo)記導(dǎo)數(shù)運(yùn)算。

誠(chéng)然，y在書(shū)寫(xiě)和記憶上比微分符號(hào)更方便表達(dá)，但“一吉”在表達(dá)導(dǎo)數(shù)思維方面有其先天的缺陷。

當(dāng)我們學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則時(shí)，我們可以看到有兩種表達(dá)式，一種是使用微分符號(hào)

當(dāng)用微分符號(hào)表示復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則時(shí)，我們可以很容易地看到源變量、中間變量和因變量，而且它們之間的關(guān)系也很清晰，但相應(yīng)的規(guī)則卻沒(méi)有表現(xiàn)出來(lái)，所以在使用復(fù)合函數(shù)時(shí)在推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)規(guī)則時(shí)，很少使用用微分符號(hào)表示的公式。

導(dǎo)數(shù)符號(hào)所代表的推導(dǎo)規(guī)則，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的規(guī)則非常明確，對(duì)于從題海中走出來(lái)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，對(duì)這個(gè)公式非常敏感，也覺(jué)得非常好用。但由于“依依”符號(hào)在使用過(guò)程中的局限性，常常會(huì)產(chǎn)生誤解，出現(xiàn)一些低級(jí)錯(cuò)誤。

下面我們寫(xiě)一道題，看看大家能不能找出其中的錯(cuò)誤。

這個(gè)方程顯然是不可能成立的。

為什么我們直接設(shè)置u=5x然后直接代入會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？很多同學(xué)會(huì)有疑問(wèn)。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，因?yàn)閟inu上的一筆和sin5x上的一筆不相等。因?yàn)?/p>

雖然我們將u替換為5x，但我們也替換了'yi'。雖然外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都用一表示，但兩者的自變量卻不是。不一樣，一眼望去根本無(wú)法區(qū)分。

微分符號(hào)dy/dx和dy/du可以很好地區(qū)分內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的自變量和因變量。

畢竟，函數(shù)討論變量之間的關(guān)系。如果只是兩個(gè)變量的變化率問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)符號(hào)表明導(dǎo)數(shù)公式對(duì)于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)問(wèn)題不大。但是，如果有多個(gè)變量，導(dǎo)數(shù)符號(hào)的表示就不如微分符號(hào)方便。

對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，一開(kāi)始就用微分符號(hào)來(lái)表示導(dǎo)數(shù)，可以更加關(guān)注變量的變化，更有利于變量思想和函數(shù)思想的形成。

這里我們還是需要警惕中學(xué)時(shí)期形成的把數(shù)學(xué)當(dāng)作算術(shù)的習(xí)慣，這種習(xí)慣往往忽視了形成數(shù)學(xué)思維方法的過(guò)程，特別容易忽視數(shù)學(xué)符號(hào)的真正含義。我們很多老師在講課的時(shí)候，總是認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)的習(xí)得是一件很自然的事情。他們往往不把符號(hào)視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一部分，以致學(xué)生可以計(jì)算問(wèn)題卻不知道這些計(jì)算公式是如何推導(dǎo)出來(lái)的。是的，我不知道學(xué)數(shù)學(xué)能做什么。于是，不少家長(zhǎng)甚至老師要求高考取消數(shù)學(xué)，因?yàn)椤皵?shù)學(xué)沒(méi)用”。不是數(shù)學(xué)沒(méi)用，而是你根本不懂?dāng)?shù)學(xué)。

現(xiàn)在我們能區(qū)分復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式中內(nèi)部函數(shù)和外部函數(shù)的兩種不同的“略讀”嗎？