勾股定理的一個(gè)新證明是什么(勾股定理的另一種證明方法)

今天下午，我們來(lái)聊聊今年4月份AndresNavas在預(yù)印本庫(kù)arXiv上發(fā)表的最新證明。這是關(guān)于畢達(dá)哥拉斯定理的。通過(guò)面積法證明，涉及一些簡(jiǎn)單的面積計(jì)算和初等數(shù)學(xué)。三角函數(shù)的知識(shí)。但證明的方法和語(yǔ)言都是原創(chuàng)的，非常值得一看。這里我們只提一下證明思路，回顧一下畢達(dá)哥拉斯定理的相關(guān)歷史。

畢達(dá)哥拉斯定理被認(rèn)為是改變世界的重要數(shù)學(xué)定理之一，又稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理。它的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是（先用知乎公式編輯器寫(xiě)個(gè)數(shù)學(xué)公式來(lái)玩玩，這其實(shí)既孤單又熱鬧）：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='c2=a2+b2'role='presentation'c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2}公元前540年左右，希臘畢達(dá)哥拉斯哲學(xué)學(xué)派提出：“一切皆數(shù)”，發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理，并導(dǎo)致了不可約量的發(fā)現(xiàn)。（據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯證明這個(gè)定理后，殺了一百頭牛來(lái)慶祝，所以又叫“百牛定理”，確實(shí)牛逼，但是牛是無(wú)辜的?。?/p>

更早的時(shí)候，大約公元前600年，希臘米利都的泰勒斯開(kāi)始證明幾何命題，將數(shù)學(xué)標(biāo)記為演繹演繹的科學(xué)。更早的時(shí)候，畢達(dá)哥拉斯定理的特殊情況在中國(guó)商高時(shí)代（公元前11世紀(jì)）就已為人所知：鉤三、股四、弦五。

這個(gè)古老定理的證明吸引了不同時(shí)代、不同國(guó)家不同層次的數(shù)學(xué)愛(ài)好者。據(jù)說(shuō)證明方法有上百種，但李老師認(rèn)為最早的證明是歐幾里得的Given，完整的證明記載在《幾何原本》。我們看第一章的第47個(gè)命題：

在直角三角形中，與直角相對(duì)的邊上的正方形等于包含直角的邊上的正方形。

翻譯成中文就是

在直角三角形中，直角對(duì)邊的平方等于直角兩側(cè)的平方和。

AndresNavas(http://arxiv.org/abs/1604.03808)的證明似乎受到了歐幾里得的啟發(fā)。這位大老師的證明就是兩邊各做一個(gè)正方形，最后直接解決（暴力美學(xué)）。安德烈斯·納瓦斯在每條邊上畫(huà)了一個(gè)等邊三角形。如下所示：

抱歉，我的圖有點(diǎn)草率，請(qǐng)參考論文原文自行推演。首先，根據(jù)三個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形求整個(gè)圖形的面積：

然后，執(zhí)行局部加法，如下所示：這次是三個(gè)三角形的和，其中兩個(gè)與上式中的兩個(gè)相抵消。

面積法雖然不是獨(dú)創(chuàng)的，但幾何圖形之間是直接相關(guān)、相互依賴(lài)的。作者不得不依靠圖的計(jì)算來(lái)給出最終的結(jié)果：論文雖然短，但是說(shuō)了很多。

你可以找到并欣賞Euclid給出的證明方法。它非常美麗。另外請(qǐng)看一下本書(shū)這一章的最后一個(gè)證明（可見(jiàn)《幾何原本》的安排是用心良苦的，至少也是相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?，就是它的逆定理?/p>

如果三角形一側(cè)的平方等于三角形另外兩條邊的平方和，則另外兩條邊之間的角是直角。請(qǐng)參閱《幾何原本》提案1.48：

如果三角形的一條邊的平方等于三角形剩余兩條邊的平方（和），則三角形剩余兩條邊所包含的角度是直角。

更多詳情請(qǐng)參考：

難道中國(guó)古代數(shù)學(xué)家只是在畢達(dá)哥拉斯定理上總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，而沒(méi)有進(jìn)行推理和驗(yàn)證嗎？-數(shù)學(xué)圖靈社區(qū)：書(shū)：畢達(dá)哥拉斯定理：證明維基百科英文詞條Euclid維基百科英文詞條EuclidElementsElementsofGeometry，（古希臘）Euclid，譯者：蘭吉正/朱恩寬譯林書(shū)局2011-11