一元二次方程解法大全(一元二次方程的各種解法及步驟)

單變量二次方程解的總結(jié)。插入眼睛以防止將來(lái)忘記。

一、定義

一個(gè)“整數(shù)方程”，只包含一個(gè)未知數(shù)，最高次方為2。它的通式為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='ax2+bx+c=0#xFF08;a#x2260;0#xFF09;'role='presentation'（）ax2+bx+c=0（a0）ax^2+bx+c=0(a\ne0)對(duì)于二次方程通式中零系數(shù)的方程，一般可以可以通過簡(jiǎn)單運(yùn)算求解，有些不屬于二次方程范疇，所以全部省略。另外，出于高中數(shù)學(xué)的考慮，增加了虛根，并進(jìn)行了一些擴(kuò)展。文末附有文中方法的推導(dǎo)過程。

二、根

定理：n次多項(xiàng)式最多有n個(gè)不同的根。

必須

二元方程最多有2個(gè)不同的根

以下解均假設(shè)方程有兩個(gè)根（兩個(gè)不同的實(shí)根，兩個(gè)相同的實(shí)根，兩個(gè)不同的虛根）

三、特殊解法

3.1開方法

當(dāng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='b=0'role='presentation'b=0b=0，有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ax2+c=0'角色='演示'ax2+c=0ax^2+c=0，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x=#x00B1;#x2212;ca'角色='演示'x=cax=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}

3.2公式法

3.2.1簡(jiǎn)單情形rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a=1"role="presentation"a=1a=1

rame'tabindex='0'樣式='字體-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x2+bx+c=0'角色='演示文稿'x2+bx+c=0x^2+bx+c=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b2#x00B1;b24#x2212;c'角色='演示'x1,2=b2b24cx_{1,2}=-\frac{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}

3.2.2推廣

rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ax2+bx+c=0'角色='演示'ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='x1,2=#x2212;b2a#x00B1;(b2a)2#x2212;ca'角色='演示'x1,2=b2a(b2a)2cax_{1,2}=-\frac{2a}\pm\sqrt{(\frac{2a})^2-\frac{c}{a}}

四、常規(guī)通用解法

4.1因式分解法（涵蓋了配方法）

4.1.1十字相乘法

取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a1,a2'角色='演示文稿'a1,a2a_1,a_2是隨機(jī)的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a'角色='演示'aa因子，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='c1,c2'角色='演示文稿'c1,c2c_1,c_2是隨機(jī)的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'data-mathml='c'role='presentation'cc因子，關(guān)系如下圖

經(jīng)過簡(jiǎn)單的嘗試，我們可以100%匹配rame'tabindex='0'style='font-size:display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(a1x+c1)(a2x+c2)=0'角色='演示'(a1x+c1)(a2x+c2)=0(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x1=#x2212;c1a1'角色='演示'x1=c1a1x_1=-\frac{c_1}{a_1},rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x2=#x2212;c2a2'role='presentation'x2=c2a2x_2=-\frac{c_2}{a_2}

4.1.2多項(xiàng)式除法

假設(shè)方程的一個(gè)根已知rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x1'role='presentation'x1x_1（可以通過“測(cè)試根方法”獲?。?/p>

長(zhǎng)除法有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ax+b+ax1=0'角色='演示'ax+b+ax1=0ax+b+ax_1=0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x=#x2212;x1#x2212;ba'角色='演示'x=x1bax=-x_1-\frac{a}

短除法有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(x#x2212;x1)(ax+ax1+b)=0'角色='演示'(xx1)(ax+ax1+b)=0(x-x_1)(ax+ax_1+b)=0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x=#x2212;ba#x2212;x1'角色='演示'x=bax1x=-\frac{a}-x_1

因此有

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x2=#x2212;x1#x2212;ba'角色='演示'x2=x1bax_2=-x_1-\frac{a}

4.1.5試根法

withrame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ax2+bx+c=0'role='presentation'ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0，取其有理根ram'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x=qp'role='presentation'x=qpx=\frac{q}{p}，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='q,p'role='presentation'q,pq,p互質(zhì)，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='p'角色='演示文稿'ppisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a'角色='演示'aa除數(shù)，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='q'角色='演示'QQ很漂亮'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'data-mathml='c'role='presentation'cc除數(shù)

4.1.6韋達(dá)定理法

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='{x1+x2=#x2212;bax1x2=ca'角色='演示'{x1+x2=bax1x2=ca\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}已知一個(gè)根，我們可以根據(jù)這個(gè)定理推導(dǎo)出另一個(gè)根

需要注意的是，如果你打算用這個(gè)定理來(lái)重建一個(gè)二變量的線性方程組，那么聯(lián)立方程組將恢復(fù)到原來(lái)方程組的形式，而問題仍然是求解一元的二次方程多變的。

4.2公式法

有一個(gè)通用公式

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b#x00B1;b2#x2212;4ac2a'角色='演示'x1,2=bb24ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}根據(jù)函數(shù)定義，取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x0394;=b2#x2212;4ac'role='presentation'=b24ac\Delta=b^2-4ac，可見

0，方程有兩個(gè)實(shí)根\\\Delta=0，方程有一個(gè)實(shí)根（兩個(gè)相等的實(shí)根）\\\Delta0，方程沒有實(shí)根（有兩個(gè)虛根）ram'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='{#x0394;gt;0#xFF0C;#x65B9;#x7A0B;#x6709;#x4E24;#x4E2A;#x5B9E;#x6839;#x0394;=0#xFF0C;#x65B9;#x7A0B;#x6709;#x4E00;#x4E2A;#x5B9E;#x6839;#xFF08;#x4E24;#x4E2A;#x76F8;#x7B49;#x7684;#x5B9E;#x6839;#xFF09;#x0394;lt;0#xFF0C;#x65B9;#x7A0B;#x65E0;#x5B9E;#x6839;#xFF08;#x6709;#x4E24;#x4E2A;#x865A;#x6839;#xFF09;'role='presentation'，方程有兩個(gè)實(shí)根，方程有一個(gè)實(shí)根（兩個(gè)相等的實(shí)根），方程沒有實(shí)根（兩個(gè)虛根）{0，方程有兩個(gè)實(shí)根=0，方程有一個(gè)實(shí)根（兩個(gè)相等的實(shí)根）0，方程沒有實(shí)根（有兩個(gè)虛根）\begin{cases}\Delta0，方程有兩個(gè)實(shí)根Root\\\Delta=0，方程有一個(gè)實(shí)根（兩個(gè)相等的實(shí)根）\\\Delta0，方程沒有實(shí)根（有兩個(gè)虛根）\end{cases}這種方法與3.2.2中的求解方法相同，本質(zhì)是方程相同但形式不同，可以根據(jù)個(gè)人喜好選擇。需要注意的是，如果選擇3.2.2求解方法，則需要根據(jù)函數(shù)定義計(jì)算根數(shù)。不過，由于兩者本質(zhì)上是一樣的，所以判別式仍然是ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x0394;'role='presentation'\Delta判別式

方法雖然很多，但思路卻很少?！?、根據(jù)根之間的關(guān)系，用各種簡(jiǎn)單的方法先求出一個(gè)根，然后再推導(dǎo)出另一個(gè)根。2.直接用前人介紹的公式來(lái)替換根。這些方法的目的是通過減少計(jì)算量來(lái)獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。實(shí)際應(yīng)用中，哪個(gè)更方便就用哪個(gè)。

附錄：各公式證明

3.2章節(jié)公式證明

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x2+bx+c=0'role='presentation'x2+bx+c=0x^2+bx+c=0假設(shè)兩個(gè)根都是實(shí)根。已知二次方程函數(shù)的圖形是拋物線，它的兩個(gè)根必須關(guān)于頂點(diǎn)鏡像對(duì)稱。也就是說(shuō)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)一定是兩個(gè)根的中點(diǎn)。設(shè)其橫坐標(biāo)為'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='z'角色='presentation'zz，帶有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='z=x1+x22'角色='演示文稿'z=x1+x22z=\frac{x_1+x_2}{2}

又因?yàn)轫旤c(diǎn)在水平軸上的投影等于兩個(gè)根之間的距離，所以該距離設(shè)置為rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='t'role='presentation'tt，然后設(shè)置兩個(gè)橫坐標(biāo)為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='z#x2212;t,z+t'role='presentation'zt,z+tz-t,z+t，根據(jù)吠陀定理：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='{(z#x2212;t)+(z+t)=#x2212;ba(z#x2212;t)(z+t)=ca'角色='演示'{(zt)+(z+t)=ba(zt)(z+t)=ca\begin{cases}(z-t)+(z+t)=-\frac{a}\\(z-t)(z+t)=\frac{c}{a}\end{情況}

在那里簡(jiǎn)化

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='{z=#x2212;b2z2#x2212;t2=c'角色='演示文稿'{z=b2z2t2=c\begin{cases}z=-\frac{2}\\z^2-t^2=c\end{情況}

聯(lián)力解得到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='t=b24#x2212;c'role='presentation't=b24ct=\sqrt[]{\frac{b^2}{4}-c}（t是距離，即正值），那么

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b2#x00B1;b24#x2212;c'角色='演示'x1,2=b2b24cx_{1,2}=-\frac{2}\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4}-c}促銷表格證書

與除了rame'tabindex='0'style='font-size:100%;相同display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a'role='presentation'aa將通式轉(zhuǎn)化為

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x2+bax+ca=0'role='presentation'x2+bax+ca=0x^2+\frac{a}x+\frac{c}{a}=0然后，比較通過上面的公式，我們有

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='{b#x2192;bac#x2192;ca'角色='演示'{bbacca\begin{cases}b\to\frac{a}\\c\to\frac{c}{a}\end{案例}

將相應(yīng)的值替換為

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b2a#x00B1;b24a2#x2212;ca'角色='演示'x1,2=b2ab24a2cax_{1,2}=-\frac{2a}\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}其實(shí)這種形式可以通過直接簡(jiǎn)化經(jīng)典求根公式得到。這種形式在計(jì)算大數(shù)時(shí)更簡(jiǎn)單，而經(jīng)典公式在計(jì)算小數(shù)時(shí)更簡(jiǎn)單。