歐拉公式數(shù)學(xué)史(歐拉公式最美的數(shù)學(xué)公式)

前段時間，我們完美地談?wù)摿他溈怂鬼f方程組，那么當(dāng)我們談?wù)撌澜缟献钔昝赖墓綍r，就離不開歐拉公式。如果說麥克斯韋方程組第一次迎來了物理世界的統(tǒng)一，那么歐拉公式堪稱“公式之母”，無數(shù)數(shù)學(xué)和物理公式在他的影響下誕生?？梢哉f促進(jìn)了數(shù)學(xué)和物理學(xué)的大發(fā)展。數(shù)學(xué)家甚至評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”。這個公式的發(fā)明者歐拉也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，數(shù)學(xué)四王之一（“數(shù)學(xué)之神”阿基米德、牛頓、“數(shù)學(xué)王子”高斯、歐拉）。

我們先來說說歐拉。歐拉可以說是為數(shù)學(xué)而生的。9歲時，他讀到了牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。

13歲考入巴塞爾大學(xué)，最初主修哲學(xué)和法律。后來我覺得太輕松了，太放松了。我一口氣學(xué)了數(shù)學(xué)、神學(xué)、希伯來語和希臘語。

業(yè)余時間，我還學(xué)習(xí)音樂、物理、建筑等。他覺得自己的大學(xué)生活過得很悠閑。我花了兩年時間完成了六個專業(yè)然后畢業(yè)了.

我參加碩士學(xué)位考試是偶然的，可能是因為覺得碩士學(xué)位的內(nèi)容太簡單了，歐拉根本不感興趣。我想我還不如讀個博士學(xué)位。

經(jīng)過一年的碩士學(xué)習(xí)，我順利考取了博士學(xué)位。

我對這些歐拉很滿意，覺得還是有一些學(xué)習(xí)的價值，所以讀了3年。我19歲順利獲得博士學(xué)位。博士論文是寫的物理論文。

為什么說歐拉狂妄自大呢？因為20歲時，他參加了巴黎科學(xué)院獎金的競賽，獲得了第二名。

歐拉什么時候這么生氣過？他心想，比賽時雖然只是灑水，但并沒有那么認(rèn)真。這不像我是第二個。

當(dāng)年獲得第一名的皮埃爾·布格也是一位實(shí)力派人物。他在多個領(lǐng)域取得了巨大的成就，被后人尊稱為“造船工程之父”。

不幸的是，他遇到的對手是歐拉。

歐拉很生氣，后果很嚴(yán)重。在接下來的12年里，歐拉贏得了所有建筑競賽的冠軍。

33歲時，歐拉感到不滿，不再參加比賽。27歲時，他發(fā)明了一系列對人類產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響的符號。圓周率符號、函數(shù)符號f(x)、三角函數(shù)符號sin、cos、tg等都是他發(fā)明的。

歐拉一手成功地為中國數(shù)學(xué)教科書貢獻(xiàn)了無數(shù)的知識點(diǎn)。讓中國學(xué)子在中考、高考的數(shù)學(xué)烈火中奮斗。然而，這只是其他人在微博上做出的小小的貢獻(xiàn)。

從初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數(shù)論中的四次方程歐拉解到歐拉函數(shù)、微分方程的歐拉方程、級數(shù)論的歐拉常數(shù)、變分的歐拉方程微積分、復(fù)變函數(shù)歐拉公式都是他送給理科大學(xué)生的禮物。

還有哥德巴赫猜想，這也是哥德巴赫在給歐拉寫信時提出的。目前流行的版本是由歐拉錄制的。

哥德巴赫寫給歐拉的信

歐拉在數(shù)學(xué)上的勤奮和天賦確實(shí)是前所未見的。都說科學(xué)研究如生活。也許當(dāng)你喝一杯水的時候，你會立刻想到一個配方。

此外，他還創(chuàng)建了幾個新學(xué)科：拓?fù)鋵W(xué)、彈道學(xué)和分析力學(xué)，他還自學(xué)成為一名制圖師。歐洲各地的天文學(xué)家正在討論如何計算彗星的軌道。100多名專家努力嘗試，但毫無進(jìn)展。

27歲的歐拉聽說這件事后，感到沮喪。為了炫耀自己的智商，他連續(xù)三天不吃不喝不睡覺，研究出了一種計算彗星軌道的方法。

然而，上帝輪回，天才也要納稅。由于連續(xù)三天不睡覺，他的右眼過度勞累，失明了……

不過，他表示還可以再堅持一段時間。30歲的獨(dú)眼歐拉發(fā)表了震驚古今的巨著《力學(xué)，或解析地敘述運(yùn)動的理論》，并提出了質(zhì)點(diǎn)的概念。

向量也被引入到速度和加速度問題中，一系列偉大成就改變了人類發(fā)展的方向。

32歲時，他因長時間不跨界而感到心癢，于是出版了一本音樂理論的書，并發(fā)明了空氣動力學(xué)和流體動力學(xué)。

59歲時，歐拉完全失明，但歐拉感覺自己仿佛解放了一個新世界。雖然看不清，也無法計算，但歐拉強(qiáng)大的心算能力彌補(bǔ)了這一點(diǎn)。

歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他從小就能夠背誦筆記本上的內(nèi)容。

而且，到了晚年，我還能清楚地記得維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀(jì)》。這本書有多厚？人民出版社翻譯的中文版有300多頁。

歐拉可以清楚地記得哪個句子在哪一頁、哪一段、哪一行。

有一個例子可以說明他的能力。歐拉的兩個學(xué)生將復(fù)收斂級數(shù)的17項相加，并計算出第50位數(shù)字。兩者相差一個單位。

為了確定誰對誰錯，歐拉用心算進(jìn)行了所有計算，最終發(fā)現(xiàn)了錯誤。歐拉失明的17年間，還解決了月球分離問題和許多令牛頓頭疼的復(fù)雜分析問題。歐拉用他驚人的記憶力和能力解決了需要計算的難題，他也變得更加勤奮寫作。還創(chuàng)立了分析力學(xué)和剛體力學(xué)

他喜歡把孩子當(dāng)作籃板，在那里做計算。就像這張照片一樣。

1771年，因彼得堡一場大火燒毀了歐拉的房屋，64歲的歐拉被困在大火中。64歲的歐拉因病雙目失明，被困在大火中。

雖然他被其他人從火焰中救了出來，但他的學(xué)業(yè)和大量的研究成果卻全部化為灰燼。

擁有驚人記憶力的歐拉說，如果我燒掉我擁有的一切，我就可以重寫它。

他抓住這最后的時刻，快速地將他發(fā)現(xiàn)的公式寫在一塊大黑板上，然后口述其內(nèi)容，這些內(nèi)容由他的學(xué)生，特別是他的長子A.歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）抄寫下來。

然而，盡管歐拉努力工作了13年，他仍然只整理出了一小部分被燒毀的結(jié)果?？梢哉f，如果沒有這把火，想想歐拉的成就會對文明的進(jìn)步做出多大的貢獻(xiàn)。

他大火后整理的一小部分成果，共886篇書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占占11%，彈道、航海、建筑等學(xué)科占3%。圣彼得堡科學(xué)院四十七年來一直忙于整理他的著作。

以歐拉命名的公式和定理有數(shù)十個。其中最廣為人知的就是我們的主體“歐拉公式”。這個恒等式最早出現(xiàn)在歐拉1748年在洛桑出版的《導(dǎo)言》一書中。它是歐拉復(fù)分析公式的一個特例。

歐拉公式?jīng)]有那么復(fù)雜，但是方程很簡單。感覺有點(diǎn)像武林高手達(dá)到最高境界，返璞歸真。

看起來特別簡單，但是這個公式對于過去很多數(shù)學(xué)家來說是很難搞清楚的。它連接了數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)底數(shù)e，pi；兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及數(shù)學(xué)中常見的0。

那么為什么這個公式這么復(fù)雜呢？因為你可以用多種不同的方式證明這一點(diǎn)。你可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明，你可以用推理來證明，你也可以用分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)來證明，你還可以用復(fù)變函數(shù)來證明，甚至你可以用平面幾何、用物理和拓?fù)鋪碜C明。這就是為什么說它包含了所有的數(shù)學(xué)元素，甚至是宇宙最合理的法則。

自然數(shù)也包含在稱為歐拉數(shù)的“e”中。自然對數(shù)的底數(shù)、素數(shù)定理、完全速率、有阻力的下落物體、粒子運(yùn)動，從宇宙飛船的速度到蝸牛的螺旋，都包含“e”

而另一個超越數(shù)，大家都很清楚，就是pi。這兩個超越數(shù)都是歐拉發(fā)明的。

它還包含最重要的運(yùn)算符號+和最重要的關(guān)系符號=。0和1是構(gòu)造群、環(huán)、域的基本元素，也是構(gòu)造代數(shù)的基礎(chǔ)。虛數(shù)單位i將數(shù)軸上的問題延伸到平面上，它與哈米爾的4元數(shù)和凱萊的8元數(shù)是分不開的。

那么你明白為什么這個公式如此復(fù)雜了嗎？正是因為它涵蓋的范圍如此之廣，三角函數(shù)、傅里葉級數(shù)、泰勒級數(shù)、概率論、群論等都受到了它的影響。對物理學(xué)也有巨大的影響，如機(jī)械波論、電磁學(xué)、波動光學(xué)和引發(fā)了電子學(xué)革命的量子力學(xué)的理論基礎(chǔ)也蘊(yùn)含其中。也將物理學(xué)中的圓周運(yùn)動、簡諧振動、機(jī)械波、電磁波、概率波等聯(lián)系在了一起......

舉一個例子，你可以使用歐拉公式將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為指數(shù)(由泰勒級數(shù)易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[即^(ix)+ie^(-ix)]

cos=1/2[e^(i)+e^(-i)]sin=-i/2[e^(i)-e^(-i)]

泰勒展開式有無窮級數(shù)，e^z=exp(z)=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…z^n/n！+.至此，三角函數(shù)的定義域已經(jīng)擴(kuò)展到整個復(fù)數(shù)集合。可以說，歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域拓展到了復(fù)數(shù)域，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的立交橋”。

它也可以作為時間的函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展。（引自CSDNxieyan0811）

添加t后，將e^(ix)視為e^(iwt)，其中t是時間，w是系數(shù)。平面上的旋轉(zhuǎn)圓擴(kuò)大為空間上的旋轉(zhuǎn)圓?？v軸表示時間t。兩個水平軸是實(shí)部(cos(t))和虛部(sin(t))。藍(lán)線經(jīng)過的點(diǎn)是e^ix，即時域中的e^ix分別投影到實(shí)軸cos(t)和虛軸sin(t)上，兩者都是時間t的函數(shù)。正余弦和余弦的投影如圖（紅色/綠色）所示。如果使用python制作3D繪圖，拖動旋轉(zhuǎn)角度的效果更加直觀。這就是傅立葉變換的原理：將時域值分裂，映射到頻域，用三角函數(shù)的疊加來表示。

以及拓?fù)渲械臍W拉公式

v+f-e=x(p)，v為多面體p的頂點(diǎn)數(shù)，f為多面體p的面數(shù)，e為多面體p的邊數(shù)，x(p)為歐拉特征多面體的數(shù)量p.如果p可以同胚于球體（通俗地理解就是能夠在球體上膨脹拉伸），那么x(p)=2。如果p同胚于一個有h個環(huán)連接的球體，則x(p)=2-2h。x(p)稱為p的歐拉特征數(shù)。它是一個拓?fù)洳蛔兞?，即無論拓?fù)淙绾巫冃味疾粫淖兊牧?。這是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。

那么讀完本文你就會知道為什么歐拉公式被稱為“上帝創(chuàng)造的公式”了。許多數(shù)學(xué)家甚至物理學(xué)家都受到了歐拉公式的啟發(fā)。高斯曾說過：“一個人首先看到這個公式，沒有感受到它的魅力，就不可能成為數(shù)學(xué)家?！?/p>

物理學(xué)家查德·費(fèi)曼驚嘆：歐拉恒等式不僅是“數(shù)學(xué)中最美妙的公式”，而且是現(xiàn)代物理學(xué)的定量基礎(chǔ)。

只是不知道各位有數(shù)學(xué)困擾的朋友看到這個公式會不會很生氣。畢竟我們很多初中、高考、大學(xué)的配方都受到它的影響~