數(shù)學(xué)培優(yōu)新方法(數(shù)學(xué)培優(yōu)補(bǔ)差計(jì)劃及措施)

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經(jīng)典培優(yōu)題

如圖所示，已知拋物線y=x+bx+c的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(5,0)，另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)是C(0,5)。

求直線BC和拋物線的解析公式；

如果M點(diǎn)是x軸下方拋物線圖像上的移動點(diǎn)，則通過M點(diǎn)畫MN//與y軸直線BC相交于N點(diǎn)，并求MN的最大值；

在的條件下，當(dāng)MN取最大值時(shí)，若點(diǎn)P為x軸下方拋物線圖像上的任意點(diǎn)，則以BC為邊繪制平行四邊形CBPQ。設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

[回答]

假設(shè)直線BC的解析公式為y=m+n，

將兩點(diǎn)B(5,0)和C(0,5)的坐標(biāo)代入，我們得到

5m+n=0，n=5。

解為：m=-1，n=5

因此，直線BC的解析公式為y=-x+5；

將兩點(diǎn)B(5,0)和C(0,5)的坐標(biāo)代入

y=x+bx+c，得到

25+5b+c=0，c=5，解為：b=-6，c=5

因此，拋物線的解析公式為y=x-6x+5；

假設(shè)M(x,x-6x+5)(1x5)，則

N(x,-x+5)，

MN=(-x+5)-(-6+5)

=-x+5x

=-(-5/2)+25/4

當(dāng)x=5/2時(shí)，MN的最大值為25/4。

當(dāng)MN達(dá)到最大值時(shí)，x=2.5，

-x+5=-2.5+5=2.5，即N(2.5,2.5)。

求解方程x-6x+5=0，我們得到x=1或5，

求解方程x-6x+5=0，我們得到x=1或5，

A(1,0),B(5,0),

ABN的面積為S2=1/242.5=5，

平行四邊形CBPQ的面積為S1=6S2=30。

設(shè)平行四邊形CBPQ的BC邊高為BD，則BC丄BD。

BC=52,

BC·BD=30,

BD=32。

過D點(diǎn)與直線BC作平行線，拋物線與P點(diǎn)相交，與X軸相交于E點(diǎn)。在直線DE上截距PQ=BC，則四邊形CBPQ是平行四邊形。

BC丄BD,OBC=45,

EBD=45，

EBD是等腰直角三角形，BE=2BD=6，

B(5,0),

E(-1,0),

假設(shè)直線PQ的解析公式為y=-x+t，

代入E(-1,0)，得1+t=0，解為t=-1。

直線PQ的解析公式為y=-x-1。

求解方程組

y=-x-1，y=-6x+5。得到

x1=2,y1=-3.x2=3,y2=-4

P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(2,-3)（與D點(diǎn)重合）或P2(3,-4)。

[解析]

假設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，代入兩點(diǎn)B(5,0)和C(0,5)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出解析式直線BC；同理，將兩點(diǎn)B(5,0)和C(0,5)的坐標(biāo)代入y=x+bx+c，用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

MN的長度為直線BC的函數(shù)值與拋物線函數(shù)值的差。據(jù)此，可以推導(dǎo)出MN的長度與M點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可以求出MN的最大值；

先求ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30。然后設(shè)平行四邊形CBPQ的BC邊的高度為BD。根據(jù)平行四邊形的面積公式，得BD=32，過點(diǎn)D與直線BC作平行線，與拋物線與P點(diǎn)相交，與x軸相交于E點(diǎn)，截距PQ=BC在直線DE上，則四邊形CBPQ是平行四邊形。證明EBD是等腰直角三角形，則BE=2BD=6，求E的坐標(biāo)為(-1,0)，用待定系數(shù)法求直線PQ的解析式為y=-x-1，然后求解方程組y=--1,y=x-6x+5

即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。

知識點(diǎn)清單：

【二次函數(shù)的定義】

一般來說，如果y=ax+bx+c（a、b、c為常數(shù)且a0），則y稱為x的二次函數(shù)。

【幾種特殊的二次函數(shù)圖像特征】

【常用公式】

頂點(diǎn)計(jì)算公式：(-b/2a,4ac-b/4a)，對稱軸：

x=-b/2a。

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