高中數(shù)學基礎(chǔ)知識點總結(jié)(高中數(shù)學基礎(chǔ)知識詳解)

初中的時候，我們學過線性函數(shù)、一變量的線性方程、一變量的線性不等式之間的關(guān)系。本節(jié)將遵循類似的思路來探討二次函數(shù)、一變量的二次方程和一變量的二次不等式之間的關(guān)系。不過，本節(jié)會提到下一課會出現(xiàn)的“函數(shù)的表達方法”。

我們暫時繼續(xù)沿用初中的函數(shù)概念（即傳統(tǒng)意義上的）：

【功能】（傳統(tǒng)意義上的）某個數(shù)學問題有兩個變量（可能記為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:綠色；'data-mathml='x'角色='演示'xx和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='y'角色='演示'yy)。rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y'角色='演示'yywithrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx變化，并且對于每個（有意義的）rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'角色='演示'xx值，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y'role='presentation'yy都有唯一且確定的值。這時候我們說rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y'角色='演示文稿'yy是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'角色='演示'xx函數(shù)。調(diào)用rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx是這個函數(shù)的“自變量”，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y'role='presentation'yy是該函數(shù)的“因變量”。

【例1】一個小鋼球從空中某一點自由落下，時間從它開始移動的那一刻開始計算。記錄自由落體的時間，單位為秒，小鋼球落入rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='t'角色='演示'tt秒。距離為米。tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：顏色：綠色；這樣rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='h'角色='演示'hhwithrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='t'role='presentation'tt變化，且rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='h=12gt2'角色='演示'h=12gt2h=\dfrac12gt^2(rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='g'role='presentation'gg是地球上的重力加速度，我們認為它是一個固定值，或者說是一個“常數(shù)”）。假設(shè)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='h'角色='演示文稿'hhisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='t'角色='演示'tt函數(shù)。

如果函數(shù)的自變量和因變量之間的關(guān)系可以用'role='presentation'yy等于1aboutrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx"（分段函數(shù)的情況下是一個集合），那么這個（集合）表達式就稱為這個函數(shù)的“解析表達式”。使用的做法表達函數(shù)的解析式稱為“解析法”。例1中，“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='h=12gt2'role='presentation'h=12gt2h=\dfrac12gt^2"是該問題的泛函分析公式。

在函數(shù)中，對于每個（有意義的）rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'角色='演示'xx值，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y'role='presentation'yy都是唯一確定的值。這意味著對于每個rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx,平面直角坐標系rame中存在唯一點'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='P(x,y)'role='presentation'P(x,y)P(x,y)與之對應(yīng)。因此，我們可以將一個函數(shù)涉及的所有點畫在平面直角坐標系上，并用所有這些點來表示該函數(shù)。這些點的總和稱為函數(shù)的圖像，用這種方式表達函數(shù)的方法稱為“圖像法”。

例一中，我們可以使用這個方法來繪制這樣的圖片（為了方便，這里我們替換為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='g=10'role='presentation'g=10g=10米每平方秒）：

在示例1的圖中，在該函數(shù)中，所有點將形成一條曲線。因此，我們只需確定幾個點的位置，并用平滑的曲線將它們連接起來即可。另請注意，在此函數(shù)中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='t#x2A7E;0'role='presentation't0t\geqslant0有意義。

我們在初中其實已經(jīng)學過二次函數(shù)和二次方程的關(guān)系：

[示例2]我們檢查二次函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=x2#x2212;x#x2212;2'角色='演示'y=x2x2y=x^2-x-2。該函數(shù)的圖像如下所示：

例2中該函數(shù)的形象與rame'tabindex='0'style='font-size:100%相同；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx軸相交于點rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(#x2212;1,0)'角色='演示'(1,0)(-1,0)和點rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(2,0)'role='presentation'(2,0)(2,0)，對應(yīng)二次方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2#x2212;x#x2212;2=0'role='presentation'x2x2=0x^2-x-2=0的根是rame'tabindex='0'style='字體大小：100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x1=#x2212;1#xFF0C;x2=2'角色='演示'，x1=1，x2=2x_1=-1,x_2=2.

接下來我們添加一個變量的二次不等式。它的概念完全可以類比一元的情況。

【一個變量的二次不等式】的形式為“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='ax2+bx+clt;0'角色='演示'ax2+bx+c0ax^2+bx+c0"或"0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='ax2+bx+cgt;0'role='presentation'ax2+bx+c0ax^2+bx+c0"稱為二次不等式，其中"rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='a,b,c#x2208;R'角色='演示'a,b,cRa,b,c\in\bold{R}和rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='a#x2260;0'角色='presentation'a0a\neq0。

在示例2中，我們發(fā)現(xiàn)在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;1,2)'role='presentation'x(1,2)x\in(-1,2)，函數(shù)圖像在rame'tabindex='0'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y'role='presentation'yy位于軸下方。這意味著在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;1,2)'role='presentation'x(1,2)x\in(-1,2)，我們有rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2#x2212;x#x2212;2lt;0'角色='演示'x2x20x^2-x-20;并在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;#x221E;#x2212;1)'角色='表示'x(,1)x\in(-\infty,-1)或rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2208;(2,+#x221E;)'role='presentation'x(2,+)x\in(2,+\infty)（這兩個區(qū)間可以合并記錄asrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;#x221E;#x2212;1)#x222A;(2,+#x221E;)'角色='演示'x(,1)(2,+)x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)，函數(shù)圖像在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='y'role='presentation'上面的yy軸。這意味著在rame中'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x#x2208;(#x2212;#x221E;#x2212;1)#x222A;(2,+#x221E;)'角色='演示'x(,1)(2,+)x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)，我們有0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x2#x2212;x#x2212;2gt;0'角色='演示'x2x20x^2-x-20。

這就是對應(yīng)的有兩個實根的方程，即判別式0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x0394;gt;0'角色='presentation'0\Delta0時的示例。rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x0394;=0'角色='演示'=0\Delta=0和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x0394;lt;0'role='presentation'0\Delta0也可以分別利用函數(shù)圖像得到相應(yīng)的結(jié)果。總之，二次函數(shù)、二次方程和不等式的解之間的對應(yīng)關(guān)系如下表所示：

這里我直接借用了人民教育出版社高中數(shù)學教材上的表格【注1】上表規(guī)定0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='agt;0'角色='演示'a0a0。當rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='alt;0'role='presentation'a0a0，可以得到類似的結(jié)果，但是大多數(shù)不等號改變了結(jié)論的方向。但更推薦的做法是使用二次項系數(shù)ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='a'role='presentation'aa當一個變量的二次不等式小于零時，將不等號兩邊乘以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2212;1'role='presentation'1-1（記得改變不等號的方向）。

[注2]一個不等式的所有解可以組成一個集合，稱為該不等式的“解集”。一般來說，找到一個不等式的“解”，實際上就相當于找到這個不等式的“解集”。我的高中數(shù)學老師曾經(jīng)說過：“解不等式比解方程更困難。因為不等式有無數(shù)解，錯過任何一個解都不會導致最終的正確答案。”另外，如表所示，如果一個不等式無解，那么我們可以說這個不等式的解集是一個空集。

最后指出，上述方法實際上可以用于任何其他函數(shù)及其相應(yīng)的方程和不等式。我們使用“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='f(x)'role='presentation'f(x)f(x)”表示一個ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;顏色：綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx公式。方程式rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='f(x)=0'role='presentation'f(x)=0f(x)=0（如果有）的實根對應(yīng)函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='y=f(x)'角色='演示'y=f(x)y=f(x)帶有rame的圖像'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx軸交點橫坐標，不等式0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='f(x)gt;0'role='presentation'f(x)0f(x)0的解集對應(yīng)函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='y=f(x)'role='presentation'y=f(x)y=f(x)的圖像在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='x'角色='呈現(xiàn)'xx整體框架'在軸上方tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x'角色='presentation'xx，不等式'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='f(x)lt;0'role='presentation'f(x)0f(x)0的解集對應(yīng)函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'data-mathml='y=f(x)'role='presentation'y=f(x)y=f(x)的圖像在軸rame下方'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:綠色；'全部'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x'role='presentation'xx.上述說法反過來也成立。