2020年高考理科答案全國(guó)一卷(2020年高考理科試題全國(guó)卷)

2020年高考全國(guó)卷理科第20題的解答與拓展

林國(guó)紅

摘要：本文對(duì)2020年高考全國(guó)第三卷數(shù)學(xué)考試?yán)砜撇糠值?0題（2）進(jìn)行了深入研究，從不同角度給出了四種解答，概括了2020年高考理科部分的第（2）題。測(cè)試問(wèn)題，并獲得兩個(gè)更一般的答案。結(jié)論，并將結(jié)論類比為雙曲線。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；區(qū)域；晉升；比喻

一、題目呈現(xiàn)

問(wèn)題已知橢圓的偏心率分別為C的左右頂點(diǎn)。

(1)求出C的方程；

（2）若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BPBQ，求APQ的面積。

由于問(wèn)題（1）比較簡(jiǎn)單，本文不予討論。接下來(lái)，對(duì)問(wèn)題(2)進(jìn)行回答和探討。

二、解法探究

分析：已知可得點(diǎn)B是不動(dòng)點(diǎn)?？梢钥紤]設(shè)置P(x0,y0)、Q(6,n)，通過(guò)參數(shù)對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行平移和變換。

解法1（以點(diǎn)為參數(shù)）假設(shè)P(x0,y0)，Q(6,n)，由已知得到B(5,0)，則

根據(jù)問(wèn)題的意思，我們得到

解決或或或

此時(shí)，A(-5,0)、P(-3,1)、Q(6,8)。

那么直線AP的方程為x-2y+5=0，點(diǎn)Q(6,8)到直線AP的距離是因?yàn)閨AP|=

同理，其他情況下APQ的面積可計(jì)算為

因此，APQ的面積為

分析是根據(jù)問(wèn)題的意思來(lái)進(jìn)行的。點(diǎn)P由直線BP和橢圓C確定。點(diǎn)Q由直線BQ和直線x=6確定。結(jié)合已知條件，以直線BP的斜率k為參數(shù)，對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行平移變換。

解2（使用斜率作為參數(shù)）令P(x0,y0)。從題意可知，直線BP的斜率存在且不為0。設(shè)直線BP的方程為y=k(x-5)(k0)，則直線BQ是

同時(shí)

排序后，得到(1+16k2)x2-160k2x+(400k2-25)=0。

因此，當(dāng)0時(shí)，將x0代入y=k(x-5)，則解為：

令x=6，我們得到

又因?yàn)锽(5,0)，所以

從|BP|=|BQ|，我們得到

解決或

此時(shí)，P(3，-1)，Q(6，-2)；

此時(shí)，P(3,1)，Q(6,2)；

此時(shí)，P(-3，-1)，Q(6，-8)；

此時(shí)，P(-3,1)，Q(6,8)。

以下是與1相同的解決方案。

分析：根據(jù)條件|BP|=|BQ|，BPBQ，可知P點(diǎn)的坐標(biāo)可以由Q點(diǎn)的坐標(biāo)確定，反之亦然。由于Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，因此可以通過(guò)Q點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)。仍然使用斜率作為參數(shù)來(lái)平移和變換問(wèn)題的條件。

解3（使用斜率作為參數(shù)）假設(shè)P(x0,y0)。從題意可知，直線BP的斜率存在且不為0。假設(shè)直線BP的斜率為k，則直線BP的方程為y=k(x-5)，直線BQ的斜率為

又根據(jù)方程-5x05，將解代入y=k(x-5)，可得

(1)當(dāng)k0時(shí)，代入解得或

此時(shí)P(-3,-1),Q(6,-8);

此時(shí)P(3,-1),Q(6,-2)。

(2)當(dāng)k0時(shí)，同理可得

此時(shí)P(-3,1)，Q(6,8)；

此時(shí)P(3,1)，Q(6,2)。

以下是與1相同的解決方案。

分析橢圓的對(duì)稱性，我們不妨將點(diǎn)P和Q設(shè)置在x軸上方。如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P畫一條垂直于x軸的直線，垂足為M點(diǎn)。設(shè)x=6與x軸相交于N點(diǎn)，如圖PMBBNQ，則即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線AQ的方程。根據(jù)點(diǎn)到線距離公式和兩點(diǎn)之間的距離公式，可以求出C的面積。

解4（平面幾何角）基于橢圓的對(duì)稱性，我們不妨將點(diǎn)P和Q設(shè)置在x軸上方。因?yàn)辄c(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BPBQ，過(guò)點(diǎn)P作與x軸垂直的直線，垂足為點(diǎn)M.令x=6與x軸相交于N點(diǎn)，如圖1所示。

由于|BP|=|BQ|，BPBQ，PMB=QNB=90，又因?yàn)镻BM+QBN=90，BQN+QBN=90，所以PBM=BQN，所以PMBBNQ。

因?yàn)橐虼薆(5,0)。

所以|PM|=|BN|=6-5=1。

假設(shè)P點(diǎn)為(xP,yP)，則可以得到P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yP=1。將其代入解可得xP=3或xP=-3，故P點(diǎn)為(3,1)或(-3,1)。

當(dāng)P點(diǎn)為(3,1)時(shí)，故|MB|=5-3=2。

因?yàn)镻MBBNQ，所以|MB|=|NQ|=2，得到的點(diǎn)Q為(6,2)，如圖2所示。

由A(-5,0),Q(6,2)可得直線AQ的方程為2x-11y+10=0，故點(diǎn)P到直線AQ的距離為

所以

當(dāng)P點(diǎn)為(-3,1)時(shí)，則|MB|=5+3=8。因?yàn)镻MBBNQ，所以|MB|=|NQ|=8，可得到點(diǎn)Q為(6,8)，如圖3所示。

由A(-5,0)、Q(6,8)可得直線AQ的方程為8x-11y+40=0，故點(diǎn)P到直線AQ的距離為

所以

綜上，APQ的面積為

三、試題推廣

通過(guò)概括試題，可以得出以下結(jié)論：

結(jié)論1已知橢圓分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，橢圓C的偏心率為e。若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=k(ka)上，且|BP|=t|BQ|(t0)，BPBQ，則

為了證明橢圓的對(duì)稱性，我們不妨將點(diǎn)P和Q設(shè)置在x軸上方，令P(xP,yP)，Q(k,yQ)。因?yàn)辄c(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=k上，且|BP|=t|BQ|，BPBQ，過(guò)點(diǎn)P作與x軸垂直的直線，垂足為M點(diǎn)。假設(shè)x=k與x軸相交于N點(diǎn)，如圖4所示。

由于|BP|=|BQ|，BPBQ，PMB=QNB=90，又因?yàn)镻BM+QBN=90，BQN+QBN=90，所以PBM=BQN，所以PMBBNQ。

由于|BP|=t|BQ|，因此|PM|=t|BN|，即yP=t(k-a)，代入得到的解

從而有

那時(shí)，有

由于|MB|=t|NQ|，所以

所以

因此，直線AQ的方程為

整理一下，得yQx-(k+a)y+yQa=0，

即yQ(x+a)-(k+a)y=0。

因此，點(diǎn)P到直線AQ的距離為

到時(shí)候同樣的邏輯就可以得到

顯然，在橢圓中，當(dāng)k=6，t=1時(shí)，從結(jié)論2可以發(fā)現(xiàn)，這正是原高考題的情況。

四、類比拓展

經(jīng)過(guò)探索，雙曲線中也有類似的結(jié)論：

結(jié)論2已知雙曲線為雙曲線C的左右頂點(diǎn)，雙曲線C的偏心率為e。若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=k(0ka)上，且|BP|=t|BQ|(t0)，BPBQ，則

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解決問(wèn)題。一道優(yōu)秀的試題，在獲得答案的基礎(chǔ)上，應(yīng)該多角度地進(jìn)行嘗試和聯(lián)想。借助問(wèn)題，我們可以探索隱藏在問(wèn)題背后的奧秘，并努力擴(kuò)大結(jié)果。從特殊數(shù)學(xué)到一般數(shù)學(xué)思想是分析幾何數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。只有養(yǎng)成善于思考、舉一反三、學(xué)到底的學(xué)習(xí)習(xí)慣，才能在學(xué)習(xí)中獲得無(wú)窮的樂趣，發(fā)展思維。

參考：

[1]林國(guó)紅.2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題的探索與思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2019（16）：39-41。

作者簡(jiǎn)介：林國(guó)宏（1977-），男，廣東佛山人，本科，高級(jí)中學(xué)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。