您肯定沒見過的英文(您肯定沒見過的英語)

這是一道你連答案都看不懂的高考數(shù)學(xué)題。我們先看一下題目，然后給出黃老師的解答，看看你能不能理解。那么老黃就解釋一下解決方案，最后希望大家能分享出更好的解決方案。這個(gè)問題看起來并不特別復(fù)雜：

假設(shè)函數(shù)f(x)=|x^2-2x-1|，若ab=1，f(a)=f(b)，求：對(duì)于任意實(shí)數(shù)c，(a+c^2)^2+(b-c^2的最小值)^2。

解：如圖1所示，根據(jù)函數(shù)f(x)圖像的性質(zhì)，1=b1+平方根2；

根據(jù)f(a)=f(b)，我們有a^2-2a-1=-b^2+2b+1，

即O:(a-1)^2+(b-1)^2=4，如圖2所示：

假設(shè)P(a,b)是O上的移動(dòng)點(diǎn)，則P在短弧AB上(包括A點(diǎn))。

點(diǎn)M(-c^2,c^2)是射線OM:y=-x上的移動(dòng)點(diǎn)。

不難發(fā)現(xiàn)|OA|是最短的。當(dāng)b=1，a=3時(shí)，即A(3,1)，

所以MP^2=OA^2=(a+c^2)^2+(b-c^2)^2=3^2+1^2=10最小值。

這個(gè)怎么樣？上面的解題過程你明白了嗎？

不知道有多少人像老黃一樣。當(dāng)他們第一次看到這個(gè)問題時(shí)，他們認(rèn)為這太簡(jiǎn)單了。然后我準(zhǔn)備用均值不等式來解決，卻發(fā)現(xiàn)不行。

然后我想到將(a+c^2)^2+(b-c^2)^2展開為關(guān)于c^2的二次函數(shù)的頂點(diǎn)表達(dá)式：2(c^2+(a-b)/2)^2+(a+b)^2/2，那么當(dāng)c^2=-(a-b)/2時(shí)，原式=(a+b)^2/2最小。但c^2=-(a-b)/2并不成立，因?yàn)樽筮吺欠秦?fù)數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，所以這個(gè)方法不行。

當(dāng)我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí)遇到困難時(shí)，我們必須懂得如何利用圖像來解決問題。函數(shù)f(x)的形象如圖1所示，做出來之后不難發(fā)現(xiàn)，要使f(a)=f(b)且ab=1，區(qū)間內(nèi)必須有b[1,1+平方根2]優(yōu)越。這里x=1+平方根2，是方程x^2-2x-1=0的較大根。并且a必須大于1。

因此，f(a)是正數(shù)的絕對(duì)值，等于它本身，f(b)是負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，等于它的相反數(shù)，所以a^2-2a-1=-b^2+2b+1，轉(zhuǎn)化為圓的方程(a-1)^2+(b-1)^2=4，畫出圖2。

而(a+c^2)^2+(b-c^2)^2可以視為移動(dòng)點(diǎn)P(a,b)與移動(dòng)點(diǎn)M(-c^2,c^2)之間的距離圓Square，這是兩點(diǎn)之間距離公式的應(yīng)用。這一步是本題最關(guān)鍵的部分。如果能得到，就用這個(gè)方法來解決。

由b的取值范圍可知，P點(diǎn)在圓弧AB上，并且包含端點(diǎn)A，但不包含端點(diǎn)B。M點(diǎn)顯然在射線OM上，即通過的直線y=-x原點(diǎn)O和點(diǎn)M位于第二象限，包括原點(diǎn)。

將A、B的縱坐標(biāo)分別代入圓方程，可得A(3,1)，B(1+平方根2,1+平方根2)，

因此AB的斜率為：k=(1+平方根2-1)/(1+平方根2-3)=-1-平方根2，

因?yàn)閨k|=1+平方根21，所以直線BA與射線OM的逆延長(zhǎng)線相交。這意味著|OA|是最短的，|OA|=10是尋求的最小值。

老黃知識(shí)生態(tài)系統(tǒng)3007喜歡去請(qǐng)教老黃這個(gè)方法很費(fèi)腦筋。不知道聰明的你有沒有更好的方法呢？