倍差法求和公式是什么(倍差數(shù)列公式是什么)

本文所說(shuō)的復(fù)合數(shù)列是指等差數(shù)列乘以等比數(shù)列組成的數(shù)列，第二種是指冪指數(shù)數(shù)列乘以等比數(shù)列組成的數(shù)列。近20年來(lái)，在全國(guó)各省市和全國(guó)高考的數(shù)學(xué)試題中，復(fù)合數(shù)列的求和題幾乎被列入數(shù)列的特殊單元。教學(xué)大綱和教材對(duì)此內(nèi)容都有教學(xué)和考試要求，這意味著高中生必須熟練并能夠使用復(fù)合數(shù)列求和的方法。數(shù)學(xué)老師稱這種方法為“雙差法”。我們來(lái)談?wù)劇半p差法”，做一些歸納和結(jié)論。

乘以q相當(dāng)于將序列向后遞歸一次，因此用后一個(gè)公式減去前一個(gè)公式。如果除以q，相當(dāng)于將序列向前遞歸一次，所以用后一個(gè)公式減去前一個(gè)公式，結(jié)果還是一樣：

我們可以得出更普遍的結(jié)論：

所以，我們得到以下結(jié)果：

這是利用上面的“雙差法”得到的結(jié)果?？梢?，上述結(jié)果只是復(fù)合序列比較常見、常用的情況之一。如果我們使d和q不同，我們很快就會(huì)得到我們經(jīng)常遇到的復(fù)合序列的和：

S2簡(jiǎn)化為以下公式：

使用“差法”求和：

S減少到這樣的總和：

您可以驗(yàn)證前兩項(xiàng)的總和：

T化簡(jiǎn)后為下式：

使用“差法”求和：

我們看一下當(dāng)q=1時(shí)的情況。顯然，以上所有求和公式都不能直接用于求q=1時(shí)的和?，F(xiàn)在用“差分法”求S2的和，因?yàn)镾是自然數(shù)的和，很容易求。

a(n)是一個(gè)等差數(shù)列，其第一項(xiàng)為a，其公差為d。b(n)是其二階算術(shù)序列。例如，如果b=1、a=2、d=1，則可以求出S2的值：

通過(guò)S2之和，我們可以求出S2(n)之和：

同理，三階算術(shù)數(shù)列的求和公式為：

因此，可求出S(n)之和：

S(n)的指數(shù)可以推廣到任何正整數(shù)m，即自然數(shù)的任何正整數(shù)冪的前n項(xiàng)之和。這是以下求和的“通用公式”：

B是“伯努利數(shù)”。

使用“差分法”還可以求以下三階算術(shù)數(shù)列的和：

使用上面已經(jīng)找到的總和：

或這個(gè)：

也可以是這樣的：

使用數(shù)學(xué)歸納法證明：

以上是二階和三階算術(shù)序列的求和。這個(gè)“計(jì)劃”可以繼續(xù)下去。現(xiàn)在寫出7階之前的高階算術(shù)數(shù)列的求和公式：

三階算術(shù)序列的求和公式：

4階和5階等差數(shù)列的求和公式：

7階算術(shù)序列求和公式：

d=0是六階等差數(shù)列的求和公式。m階等差數(shù)列的求和公式：

a是原算術(shù)數(shù)列的第一項(xiàng)，d(k)是k階算術(shù)數(shù)列的第一項(xiàng)，它們的和S(n)可以表示為：

現(xiàn)在回到“雙差法”的主題。近二十年來(lái)，高考中的數(shù)列題幾乎都包含了這種求復(fù)合數(shù)列之和的題，就是考驗(yàn)考生對(duì)“雙差法”的綜合運(yùn)用能力。而且求和公式中的項(xiàng)數(shù)n往往并不相同，而求的n項(xiàng)是相同的，這是考驗(yàn)考生對(duì)所需數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和公比的指數(shù)個(gè)數(shù)的判斷。這些都是重要的測(cè)試點(diǎn)。還有一些復(fù)合數(shù)列不是由等差數(shù)列乘以等比數(shù)列組成，而是由n與等比數(shù)列的乘積組成。當(dāng)對(duì)這樣的序列求和時(shí)，常常會(huì)重復(fù)使用“雙差法”。就是考察應(yīng)用能力和計(jì)算能力。尤其當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q為分?jǐn)?shù)時(shí)，合數(shù)數(shù)列的形式為nq，因此必須多次使用“雙差法”。我們可以進(jìn)行一般歸納并推導(dǎo)出一般公式。雖然不能直接作為考試中的公式使用，但解法是通用的。一旦掌握了技術(shù)方面的內(nèi)容，就可以靈活運(yùn)用到此類序列中。問(wèn)題的答案。記住最后的結(jié)果。解決問(wèn)題時(shí)，可以作為檢查你的解法結(jié)果是否正確的依據(jù)。驗(yàn)證一下就可以了。

np之和

令p=2,3，可得n·2、n·3之和：

對(duì)于式中的p，若p=q1，則可求出nq之和，例如p=21，31：

nq之和：

這就是常用的“雙差法”。兩邊都乘以q1，或除以q。當(dāng)然，你也可以乘以q，不同的方法得到相同的結(jié)果：

令q=2，可得n·21之和：

令q=3，可得n·31之和：

有了上面的n2·31之和，那么n3·31之和也可以計(jì)算出來(lái)：

在上面的“公式”中，如果q=p，我們可以得到n·p的總和：

(n1)p之和：

設(shè)p=2,3,21,31，可得如下總和：

(n1)q之和：

由于算術(shù)數(shù)列中a=3，而不是1，而等比數(shù)列中b=q1，所以我們直接使用上面開頭的公式來(lái)計(jì)算。以下方法加或減1并完成等差數(shù)列的第一項(xiàng)1。此時(shí)，a=b=1，項(xiàng)數(shù)為n+1。因此，使用公式計(jì)算出的和為n項(xiàng)之和，并且公式中的指數(shù)比項(xiàng)數(shù)多1，因此公式中指數(shù)項(xiàng)的數(shù)量為n+1：

令q=2，可得(n+1)·2之和，同理，令q=3，可得(n+1)·3之和：

類似地，如果q=21，我們可以得到(n+1)·2的和，如果q=31，我們可以得到(n+1)2·3的和。下面列出了當(dāng)q=2,3時(shí)這兩種類型的和：

通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明最后的和：

因此，S對(duì)于任何自然數(shù)k都成立。

這里有些例子。

示例1.

前者采用上式計(jì)算，后者采用“雙差法”計(jì)算。

示例2.

示例3.

通式很容易找到，關(guān)鍵也是最重要的是求和：

A項(xiàng)的和為n·2，計(jì)算和時(shí)使用了兩次“雙差法”，但第二次直接使用上式計(jì)算；B項(xiàng)的總和也是用公式計(jì)算的，主要看上面公式在求和中的應(yīng)用。項(xiàng)之和A也可以使用上面的“公式”計(jì)算：

使用以下方法，這個(gè)問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單：

例4.

用“雙差法”求：

實(shí)施例5.

實(shí)施例6.

當(dāng)計(jì)算到等差數(shù)列與等差數(shù)列相乘的步驟時(shí)，可以繼續(xù)使用“雙差法”：

兩邊都乘以1/3相當(dāng)于向后遞歸一次，所以用前一個(gè)公式減去后一個(gè)公式。

這樣兩邊都乘以3，相當(dāng)于向前遞歸一次，所以用后一個(gè)公式減去前一個(gè)公式。用公式計(jì)算時(shí)，需要注意的是，項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)，等差數(shù)列的第一項(xiàng)為1，但容差卻是2，所以我們要找的是項(xiàng)之和（n-1）。式中公比的指數(shù)應(yīng)為(n-1)，因?yàn)榇藭r(shí)等比數(shù)列第一項(xiàng)為b=1。

例7.高考回放：

利用上面(n1)·2的結(jié)果，計(jì)算起來(lái)簡(jiǎn)單易行：

實(shí)施例8.

或者把3放到前面，先計(jì)算下面的和，然后乘以3求出總和：

常規(guī)“雙差法”：

如果用“雙差法”乘以3，本質(zhì)是一樣的?，F(xiàn)在乘以3，然后最終結(jié)果將再次除以3。由于是乘以3，所以求和序列相當(dāng)于向前遞歸一次，所以我們需要用最后1個(gè)公式減去前1個(gè)公式。因?yàn)楣仁欠謹(jǐn)?shù)，如果乘以1/3，就相當(dāng)于求和序列向后遞歸一次，所以必須用后一個(gè)來(lái)減去第一個(gè)。它們并沒(méi)有本質(zhì)上的不同。

由于遞歸表達(dá)式滿足條件n>1，因此將b添加到最終的和中：

這就是問(wèn)題的最終結(jié)果。

實(shí)施例9.

實(shí)施例10.

需要說(shuō)明的是，“二重差法”幾乎不適用于三角函數(shù)的求和，因?yàn)槿呛瘮?shù)的角度可以是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列，但三角函數(shù)幾乎從來(lái)不是等比數(shù)列。序列，所以不可能用“雙差法”求和。例如，對(duì)于如下形式的三角函數(shù)序列，“雙差法”中的“倍數(shù)”使得無(wú)法完成任務(wù)：

三角函數(shù)的數(shù)列有其自身的特點(diǎn)和規(guī)則。雖然不能用“雙差法”求和，但將三角函數(shù)的性質(zhì)以及和差積、積和差的特點(diǎn)與和角公式或差角公式結(jié)合起來(lái)。公式和倍角公式，根據(jù)三角函數(shù)序列的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)通式進(jìn)行適當(dāng)變形，可以求出上述形式的三角函數(shù)序列的和。三角函數(shù)序列的代表是正弦函數(shù)序列和余弦函數(shù)序列，其結(jié)果如下：

下面給出四種方法來(lái)證明這一點(diǎn)。

第一種方法證明：

由此可見，解決這類問(wèn)題的方法的“精髓”就是乘以sind/2，然后展開乘積和差，取消中間項(xiàng)，最后變成第一個(gè)和最后兩個(gè)學(xué)期。和與差的乘積是最令人興奮的部分。

第二種方法證明：

或者它可能是：

我們也可以看到，同樣是求和，但是等差數(shù)列的應(yīng)用有其優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)。第一種方法是充分利用“空氣中項(xiàng)”的性質(zhì)和特點(diǎn)，第二種方法是利用算術(shù)差?？梢哉f(shuō)，數(shù)列的通項(xiàng)公式在三角函數(shù)求和中將算術(shù)數(shù)列的這兩個(gè)性質(zhì)和特點(diǎn)發(fā)揮到了極致。

第三種方法證明：

最終公式中的角度代表（第一個(gè)角度+最后一個(gè)角度）的一半。這種證明方法比較靈活，技巧性十足。利用三角函數(shù)公式對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)拆分，或者變換通項(xiàng)公式的形式，展開正弦函數(shù)的差角公式，對(duì)消去相同項(xiàng)后的剩余兩項(xiàng)使用余弦函數(shù)。和差積用于求正弦函數(shù)序列的和。用同樣的方法，還可以求余弦函數(shù)序列的和：

第四種方法證明：

可以得出以下結(jié)論：

還可以得到如下推論：

現(xiàn)在使用上面的正弦序列和余弦序列公式來(lái)求前一個(gè)序列的和。

(1)

(2)

(3)

當(dāng)然，用同樣的方法，我們也可以求出如下形式的正弦函數(shù)序列之和：

(4)

可見，三角函數(shù)序列的求和和使用“雙差法”的復(fù)合序列求和各有其規(guī)則和“原理”。三角函數(shù)序列的求和更多地體現(xiàn)在根據(jù)一般公式的特點(diǎn)來(lái)使用三角函數(shù)公式。通式的靈活運(yùn)用體現(xiàn)了三角函數(shù)公式之間的正確關(guān)系，最終歸結(jié)為三角函數(shù)的和差積和積和差?？梢哉f(shuō)，如果不熟悉三角函數(shù)公式及其應(yīng)用，就不可能求出三角函數(shù)序列的和。

另一個(gè)例子：

根據(jù)上面的例子，還可以證明：