三角形五心概念(三角形的五心分別是什么意思)

三角形的五個(gè)中心和五個(gè)中心是三角形非常重要的屬性之一。本期清華大學(xué)的楊老師將講解三角形五個(gè)中心的性質(zhì)和外延。

一、三角形的五個(gè)中心及其性質(zhì)1、重心的定義：三角形的三條中線的交點(diǎn)就是重心，且重心必須在三角形內(nèi)部。如圖所示，若D、E、F分別為邊BC、AC、AB的中點(diǎn)，則AD、BE、CF三條線段的交點(diǎn)O即為ABC的重心。

重心的性質(zhì)：(1)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

(2)

重心與三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三個(gè)三角形的面積相等。即重心到三邊的距離與三邊的長度成反比。

（3）三角形除以三條中線得到的六個(gè)小三角形的面積都相等。

(4)在平面直角坐標(biāo)系中，重心坐標(biāo)為三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均值，即重心坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)

2、垂心定義：三角形三條高線的交點(diǎn)為垂心。如圖所示，若AD、BE、CF分別為BC、AC、AB邊的高度，則AD、BE、CF這三條線段的交點(diǎn)O就是ABC的垂直中心。

垂心的性質(zhì)：(1)銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)部；直角三角形的垂直中心位于直角的頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂直中心在三角形的外部。

(2)三角形的垂直中心是其垂直腳三角形的中心。

如圖所示，H為ABC的垂直中心和DEF的中心。

(3)三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到垂直中心的距離等于外心到對邊距離的兩倍。（如果垂直中心沿著外接圓，則一定是平行四邊形）。

如圖所示，G為三角形ACD的重心，O為三角形ACD的外心，OHCD，則：AG=2OH，四邊形AMCG為平行四邊形。

(4)垂直中心向量特征：三角形ABC的垂直中心G，則：向量GA·GB=向量GB·GC=向量GC·GA

3、內(nèi)心的定義：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心，稱為內(nèi)心。內(nèi)心必須在三角形內(nèi)部。如圖所示，若AD、BE、CF分別為三角形三個(gè)頂角的平分線，則AD、BE、CF這三條線段的交點(diǎn)I就是ABC的圓心。

內(nèi)心的性質(zhì)：(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，且都等于內(nèi)切圓的半徑r，ID=IE=IF=r

(2)BIC=90+BAC/2；AIC=90+ABC/2；AIB=90+ACB/2

(3)O點(diǎn)為平面ABC上任意點(diǎn)且I點(diǎn)為ABC圓心的充要條件為：

矢量OI=[a*(矢量OA)+b*(矢量OB)+c*(矢量OC)]/(a+b+c)。

(4)ABC中：a、b、c分別為三邊，S為三角形的面積，則內(nèi)切圓半徑為r=2S/(a+b+c)

4、外心定義：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)是三角形外接圓的圓心，稱為外接心。如圖所示，若l、m、n是三角形三邊的垂直平分線，則它們的交點(diǎn)O就是ABC的外心。

外心的性質(zhì)：

(1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合；鈍角三角形的外心在三角形的外面。

(2)三角形外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC=R（外接圓的半徑）

(3)對于給定的三角形，只有一個(gè)外接圓。

(4)點(diǎn)O是平面ABC上的點(diǎn)，則點(diǎn)O是ABC外心的充要條件：(向量OA+向量OB)·向量AB=(向量OB+向量OC)·向量BC=(矢量OC+矢量OA)·矢量CA=0

5、Paracenter（一般不需要pericenter）pericenter的定義：與三角形相切的圓的中心，稱為三角形的periccenter，是三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與平分線的交點(diǎn)另外兩個(gè)內(nèi)角的外角；任何三角形都有三個(gè)外接圓和三個(gè)外心。如圖所示，O1、O2、O3分別是三角形ABC的三個(gè)切圓的圓心。

旁心的性質(zhì)：

(1)外心必須在三角形之外。

(2)三角形外心到三邊的距離相等。

2.三角形五心性的推廣1.三角形內(nèi)角平分線定理（*要點(diǎn)）若AD為三角形ABC的內(nèi)角BAC的平分線，則BD/CD=AB/AC

2.三角形外角平分線定理

若AD為三角形ABC的外角CAF的平分線，則BD/CD=AB/AC

3.內(nèi)心到三頂點(diǎn)距離R(三角形外接圓半徑)

即：將一條邊除以其對角線正弦值的2倍

證明：AD為圓O的直徑，

D=C,

ABD=90

AB=AD*sinD=AD*sinC

2R=AD=AB/sinC

R=AB/2sinC

4.正弦定理(*重點(diǎn))