歐拉公式是最浪漫的數(shù)學公式(歐拉公式 百度百科)

（除了二項式定理之外，還有很多組合恒等式可以寫成生成函數(shù)的形式，有興趣的朋友可以自行探索。）

好吧，讓我們言歸正傳吧，如果我們點菜的話

那么根據(jù)函數(shù)方程，

E(2)=E(1)E(1)=e2

E(3)=E(2)E(1)=e3

…………

因此E(x)=ex對于所有整數(shù)x都成立。那么根據(jù)函數(shù)方程

E(1/3)E(1/3)E(1/3)=E(1/2)E(1/2)=E(1)=e

又因為E(1/2)和E(1/3)都是正數(shù)，所以

E(1/2)=e1/2

E(1/3)=e1/3

進一步可以推導出E(x)=ex對于所有有理數(shù)和所有實數(shù)（取極限）都成立。所以E(x)是指數(shù)函數(shù)ex的推廣。對于復數(shù)x，我們也將E(x)寫為ex。例如，eit是：

(微分方程)(ex)=ex

逐項微分，我們得到這個微分方程：

相信很多人都知道e可以用復利來理解：

如果有人高利貸給你1萬元，年利率是100%，那么一年后還貸時你就得還他2萬元。但如果他半年后還清貸款，就是（1+1/2）萬，然后借給你，半年后還清貸款，就是（1+1/2）2萬=22,500。如果每四個月結(jié)算一次，那么一年后就是(1+1/3)30,,700。如果把一年分成很多，甚至無數(shù)個時間段，連續(xù)不斷地計算復利，最終的結(jié)果將是極限

該極限也大約等于2.718。也就是說，最初的元，一年內(nèi)不斷復利，最終會變成元左右。

另一方面，當x從0連續(xù)變化到1時，函數(shù)ex的值從1增長到e，而ex的微分方程表明，這種增長方法使用自己的值作為每個時刻的增長率，這就是與上面提到的復利模型相同。所以從ex的微分方程我們可以直觀地看出

e表示單位數(shù)量在單位時間內(nèi)“自然增長”所獲得的數(shù)量，因此稱為自然常數(shù)。這種自然生長模式在自然界中經(jīng)常遇到，例如細菌和其他微生物的繁殖。

在講函數(shù)ex的共軛方程之前，我們先回顧一下共軛復數(shù)的概念：

復數(shù)z=x+yi的共軛復數(shù)定義為z=x-yi，其對應于平面上關(guān)于x軸對稱的兩個點。

很容易驗證共軛、加法和求冪運算是可交換的：

兩個互共軛復數(shù)的乘積恰好等于模的平方：

zz=|z|2

(共軛等式)

這個方程的推導也很簡單：

共軛方程告訴我們，函數(shù)ex在一對共軛復數(shù)處所取的值也是相互共軛的。

四，揭開歐拉公式的神秘面紗

現(xiàn)在讓我們回顧一下歐拉公式

(歐拉公式)eitcost+isint

該公式的左側(cè)是在整個實數(shù)軸上定義的復值函數(shù)。也就是說，對于每個實數(shù)t，都有一個唯一的復數(shù)eit。正如我們在文章《復數(shù)——幾何直觀和代數(shù)運算的交響樂》中提到的，復數(shù)與平面上的點一一對應。因此，如果我們將數(shù)軸視為時間的直線，

eit可以被視為平面上質(zhì)點的運動。此時t，粒子的位置為eit。

但這個公式右邊也是定義在整個實數(shù)軸上的復值函數(shù)，也可以看成是質(zhì)點在平面上的運動。我們在第一節(jié)中說過，函數(shù)cost和sint分別表示單位圓（以原點為圓心）上從點(1,0)逆時針偏離弧長為t的點的橫坐標和縱坐標，

也就是說，在t時刻，粒子在單位圓上已經(jīng)移動了長度為t的距離。也就是說，歐拉公式右邊代表質(zhì)點繞單位圓逆時針勻速圓周運動，速度為1。

因此，我們需要說明的是，歐拉公式左邊的eit也代表質(zhì)點繞單位圓逆時針勻速圓周運動。我們先解釋一下為什么函數(shù)eit的值總是落在單位圓上。根據(jù)ex的共軛方程

并根據(jù)ex的函數(shù)方程

所以eit確實代表了粒子在單位圓上的運動。如何解釋這個運動是逆時針且勻速的？我們可以看一下它的速度向量，它是eit的導函數(shù)。根據(jù)ex的微分方程，我們有

因此，每一時刻的速度矢量就是順時針旋轉(zhuǎn)90度的位置矢量，

因此，eit也確實表示質(zhì)點繞單位圓作逆時針勻速圓周運動，速度也為1。

因此，由于左右函數(shù)代表的是同一個運動，歐拉公式自然成立。另外，在時間t=時，粒子剛剛穿過半圓并到達點(-1,0)。那么歐拉公式就變成了

根據(jù)ex的函數(shù)方程，

使用歐拉公式，該方程可以寫為

你能看出這本質(zhì)上是三角函數(shù)的和差積公式嗎？事實上，以歐拉公式為背景

ex的函數(shù)方程和三角函數(shù)的和差化積公式是等價的！