高考數(shù)學(xué)十一種思想方法總結(jié)與詳解視頻(高考數(shù)學(xué)十一種思想方法總結(jié)與詳解)

數(shù)學(xué)思維是指人們意識(shí)中反映的現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，是思維活動(dòng)的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)和理論經(jīng)過(guò)總結(jié)后的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思想是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)所體現(xiàn)或應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)的基礎(chǔ)性的、概括性的、最廣泛的數(shù)學(xué)思想。它們蘊(yùn)含著傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精髓。和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史發(fā)展的。通過(guò)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)能力將會(huì)得到很大的提高。掌握數(shù)學(xué)思想就是掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

1.函數(shù)方程的思想

函數(shù)思維是指運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)來(lái)分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題。方程思維從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)求解方程（群）或不等式（群）來(lái)解決問(wèn)題。有時(shí)，需要將函數(shù)和方程相互轉(zhuǎn)化、積分才能達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題。宇宙充滿了方程和不等式。我們知道，有方程的地方就有方程；有方程的地方就有方程；有方程的地方就有方程。有公式的地方就有方程；評(píng)價(jià)問(wèn)題是通過(guò)求解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的……等等；不平等問(wèn)題也與方程密切相關(guān)。列出方程、求解方程以及研究方程的性質(zhì)都是應(yīng)用方程思維時(shí)的重要考慮因素。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系。函數(shù)思維通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了辯證唯物主義“聯(lián)系與變化”的觀點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)的思想就是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的屬性來(lái)解決問(wèn)題。經(jīng)常用到的性質(zhì)有：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、f(x)的最大值和最小值、圖像變換等，要求我們掌握線性函數(shù)、二次函數(shù)的具體特征、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)。在解決問(wèn)題時(shí)，善于探索問(wèn)題中的隱含條件，構(gòu)造函數(shù)的解析表達(dá)式并神奇地利用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。只有對(duì)給定的問(wèn)題進(jìn)行深入、充分、全面的觀察、分析、判斷，才能建立二者之間的聯(lián)系，構(gòu)建出功能原型。此外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題、集合問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思維解決非函數(shù)問(wèn)題。

函數(shù)式知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，涉及面較廣。它在概念、應(yīng)用和理解方面都有一定的要求，因此是高考中的考試重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)問(wèn)題類型是：遇到變量時(shí)，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題；涉及不等式、方程、最小值和最大值等問(wèn)題，用函數(shù)的角度進(jìn)行分析；包含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選擇適當(dāng)?shù)闹髯兞縼?lái)揭示函數(shù)關(guān)系；將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)來(lái)解答；在算術(shù)和幾何數(shù)列中，通式和前n項(xiàng)之和的公式都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)法來(lái)求解。

2.數(shù)字與形狀結(jié)合的思想

“數(shù)字是無(wú)形的，不太直觀，形狀無(wú)數(shù)，而且難以理解。”利用“數(shù)形結(jié)合”可以使困難的問(wèn)題變得容易，復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。將代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，例如用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題。這種方法最常用于解析幾何。例如求根號(hào)((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(hào)(a^2+(b-1)^2)+根號(hào)((a-1))^2+b^2)+根號(hào)的最小值(a^2+b^2)，可以放到坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)換成點(diǎn)為(0,1),(1,0),(0,0),(1,1)四個(gè)點(diǎn)之間的距離，即可求其最小值。

3.分類并討論想法

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題可能因某個(gè)數(shù)量或數(shù)字的不同情況而產(chǎn)生不同的結(jié)果時(shí)，就需要對(duì)該數(shù)量或數(shù)字的各種情況進(jìn)行分類討論。例如，在求解不等式|a-1|4時(shí)，我們需要對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論。

4.方程思維

當(dāng)問(wèn)題可能與方程相關(guān)時(shí)，可以構(gòu)造方程并研究其性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。例如，在證明柯西不等式時(shí)，可以將柯西不等式轉(zhuǎn)化為二次方程的判別式。

5、總體思路

從問(wèn)題的整體本質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“綜合”的視角來(lái)整體地看待某些公式或圖形并把握它們之間的關(guān)系。相關(guān)性、有目的性、有意識(shí)的整體處理。整體思維方法廣泛應(yīng)用于代數(shù)表達(dá)式的化簡(jiǎn)和求值、求解方程（群）、幾何解等。幾何中的整體代入、疊加乘法處理、全局運(yùn)算、全局元素設(shè)置、全局處理等方面的補(bǔ)充等等都是整體思維方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的具體應(yīng)用。

6.回歸思想

它在于通過(guò)演繹和歸納，將未知的、不熟悉的、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。三角函數(shù)、幾何變換、因式分解、解析幾何、微積分等數(shù)學(xué)理論，甚至古代數(shù)學(xué)中的尺規(guī)作圖，都滲透著變換的思想。常見(jiàn)的變換方法有：一般特殊變換、等價(jià)變換、復(fù)簡(jiǎn)單變換、數(shù)形變換、結(jié)構(gòu)變換、聯(lián)想變換、類比變換等。

轉(zhuǎn)化思維也可以稱為狹義的轉(zhuǎn)化思維。歸約的思想就是通過(guò)某種變換方法，將未解決的或難以解決的問(wèn)題A轉(zhuǎn)化為固定解決模式或易于解決的問(wèn)題B，通過(guò)解決問(wèn)題B來(lái)解決問(wèn)題A。

7.內(nèi)隱條件思維

沒(méi)有明確表述但可以根據(jù)已有的明確表達(dá)來(lái)推斷的條件，或者沒(méi)有明確表達(dá)但屬于規(guī)則或真理的條件。例如，在等腰三角形中，如果一條線段垂直于底邊，那么這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。

8.類比思維

比較兩個(gè)（或兩種類型）不同的數(shù)學(xué)對(duì)象。如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嫦嗤蛳嗨?，則推斷它們?cè)谄渌矫婵赡芟嗤蛳嗨啤?/p>

9.建模思路

為了更加科學(xué)、邏輯、客觀、可再現(xiàn)地描述實(shí)際現(xiàn)象，人們使用普遍認(rèn)為較為嚴(yán)格的語(yǔ)言來(lái)描述各種現(xiàn)象。這種語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的事物稱為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)我們需要做一些實(shí)驗(yàn)，但這些實(shí)驗(yàn)往往是用抽象的數(shù)學(xué)模型來(lái)代替實(shí)際的物體來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的理論替代。

10.歸納推理思想

推論某類事物的某些對(duì)象具有某些特征并推斷出該類事物的所有對(duì)象都具有這些特征，或者從個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推論，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納法）。簡(jiǎn)而言之，歸納推理就是從部分到整體、從個(gè)體到一般的推理。

此外，還有概率、統(tǒng)計(jì)思維等數(shù)學(xué)思想。比如，概率統(tǒng)計(jì)思維是指通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，比如彩票的中獎(jiǎng)率、某次考試的綜合分析等。此外，一些領(lǐng)域問(wèn)題也可以用概率的方法來(lái)解決。

我舉個(gè)例子吧~~圖中有一條角平分線，兩邊可以畫垂線。

也可以將圖片對(duì)折，看看對(duì)稱后的關(guān)系。

角平分線是平行線，加上等腰三角形。

嘗試添加角平分線和垂線，將三條線合并為一條。

線段垂直平分一條線，并且通常將線的兩端連接起來(lái)。

為了證明線段加倍和減半，可以測(cè)試延長(zhǎng)和縮短。

三角形中的兩個(gè)中點(diǎn)相連形成中線。

三角形有中線、延長(zhǎng)中線和其他中線。

出現(xiàn)一個(gè)平行四邊形，其對(duì)稱中心平分該點(diǎn)。

在梯形內(nèi)畫一條高線，并嘗試將其平移一個(gè)腰部。

平行移動(dòng)對(duì)角線形成三角形是常見(jiàn)的。

為了證明相似性，比較線段并養(yǎng)成添加平行線的習(xí)慣。

將等積公式轉(zhuǎn)換為比例時(shí)，找到線段非常重要。

直接證明比較困難，但是用等量代入就比較麻煩了。

在斜邊上做一條高線，在比例中間做一個(gè)大面積。

計(jì)算半徑和弦長(zhǎng)，弦中心距到中站。

如果圓上有切線，則切點(diǎn)連接到圓心和半徑。

要計(jì)算切線長(zhǎng)度，畢達(dá)哥拉斯定理是最方便的。

為了證明它是切線，請(qǐng)仔細(xì)識(shí)別半徑垂直線。

是直徑，呈半圓形式，可以將其視為與弦相連的直角直徑。

圓弧有一個(gè)中點(diǎn)連接到圓心，垂直直徑定理必須完全記住。

圓周的角邊有兩條弦，直徑與弦的端部相連。

與角相切的弦、與弦的切線的邊、以及與對(duì)角的弧都可以找到。

要制作外接圓，請(qǐng)?jiān)诿織l邊上畫一條垂直線。

我們還需要做一個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線就是圓。

如果遇到相交的圓，別忘了做一個(gè)共同的和弦。

對(duì)于內(nèi)外相切的兩個(gè)圓，公切線通過(guò)切點(diǎn)。

如果加一條連接線，切點(diǎn)肯定在它上面。

等角加圓，證明問(wèn)題就不那么困難了。

輔助線是虛線，繪制時(shí)注意不要改變。

如果圖形分散，請(qǐng)嘗試對(duì)稱旋轉(zhuǎn)。

基礎(chǔ)繪畫非常重要，需要熟練掌握才能掌握。

解決問(wèn)題需要細(xì)心，時(shí)刻總結(jié)方法。

不要盲目加線，方法要靈活多變。

通過(guò)分析、綜合選擇方法，再多的困難都會(huì)減少。

努力學(xué)習(xí)，努力練習(xí)，你的成績(jī)就會(huì)直線上升。

11.極端思維

極限的思想是微積分的基本思想。數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分等，都是借助極限來(lái)定義的。如果你要問(wèn)：“數(shù)學(xué)分析是一門什么樣的學(xué)科？”那么我們可以總結(jié)一下：“數(shù)學(xué)分析是一門用極端思維來(lái)研究函數(shù)的學(xué)科”。

資料來(lái)源：考試吧